Potentielle Energie

Die potentielle Energie wird auch als Höhenenergie bezeichnet, weil diese abhängig von der Höhenlage eines Körpers ist. Die Formel für die Potentielle Energie ist:

Es ist deutlich zu erkennen, dass die potentielle Energie und die Hubarbeit identisch sind. Das kann man sich so erklären:

Beim Anheben eines Körpers wird Hubarbeit $W = mgh$ geleistet. Wir heben also ein Smartphone (200g) vom Boden auf und legen dieses auf den Tisch in einen Meter Höhe.

Smartphone auf dem Küchentisch

Dann haben wir eine Hubarbeit von $W = 0,2 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1m = 1,962 J$ geleistet. Dieses Smartphone weist nun eine potentielle Energie von $E_{pot} =  0,2 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1m = 1,962 J$ auf.

Ein anderes Beispiel für die Umwandlung von potentieller Energie in Arbeit ist der Stausee. Dazu betrachten wir einen Stausee mit Staudamm.

Hoover Staudamm

Aufgrund der Staumauer hat sich eine große Menge Wasser gebildet. Das obere Wasser aus dem Stausee liegt ziemlich hoch, weist also potentielle Energie auf. Wenn wir dieses Wasser nun abfließen lassen, so kann dieses beim Abfließen Generatoren zur Erzeugung elektrischer Energie antreiben.

Was bedeutet das?

Wir befinden uns auf der 5. Stufe einer Treppe. Dort befindet sich eine Murmel (50g). Wir heben diese Murmel auf und gehen die Treppe bis zur 10. Stufe hinauf. Der senkrechte Höhenunterschied zwischen 5. Stufe und 10. Stufe sei h = 2m. Wir leisten eine Hubarbeit von:

$W = 0,05 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m = 0,981 J$

Wir verrichten also eine Arbeit von 0,981 Joule um die Kugel von der 5. zur 10. Stufe zu transportieren.

In Bezug auf die 5. Stufe weist die Kugel nun eine potentielle Energie von 

$E_{pot} = 0,981 J$ 

auf. Wählen wir als Bezugspunkt aber die 1. Stufe (Höhenunterschied zur 5. Stufe auch 2m), so weist die Kugel eine potentielle Energie von

$E_{pot} = 0,05 kg 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (2m+2m) = 1,962 J$

auf. Die betrachtete Höhe innerhalb der Formel ist also abhängig von einem bestimmten Bezugsniveau. Dieses Bezugsniveau müssen wir vor der Berechnung festlegen und angeben. 

Potentielle Energie und Spannarbeit

Eine gespannte (gestauchte) Feder besitzt potentielle Energie. Wir verrichten Spannarbeit entlang eines Weges, um die Feder zu spannen (stauchen). Dieser Weg stellt die Höhe dar.

Ventilfedern (vorgespannt)

Die gespannte (gestauchte) Feder kann z.B. dadurch Arbeit verrichten, dass sie eine Masse weg katapultiert. Die in der gespannten Feder gespeicherte Energie ist dann gleich der Arbeit, die wir zum Spannen der Feder aufwenden mussten, also:

Anwendungsbesipiel: Basejumper Burj Khalifa

Beispiel

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Ein Extremsportler hat es geschafft, sich an den Sicherheitskontrollen und Absperrungen des Burj Khalifa in Dubai, dem mit $h_{gesamt} = 828  m$ höchsten Gebäude der Welt, vorbei zu mogeln. Er befindet sich nun in $h = 638  m$ Höhe außerhalb des Gebäudes auf einem kleinen Vorsprung. Sein Plan ist es als Erster überhaupt mit seinem Fallschirm einen Basejump von diesem Gebäude zu machen. Er darf sich weder jetzt noch nach der Landung erwischen lassen, sonst darf er für mehrere Monate in ein staatliches "Hotel" einziehen und das sogar kostenlos.

Unser Extremsportler hat die Masse $m_E = 89  kg$.

Wie hoch ist seine potentielle Energie vor dem Absprung?

Burj Khalifa 

 

Wir wissen, dass die potentielle Energie von der Lage des betrachteten Körpers abhängig ist. Entscheidend dabei ist das Bezugsniveau, von dem aus wir die Lage des Körpers betrachten.

Das bedeutet im vorliegenden Fall, dass wir als Bezugsniveau das Erdgeschoss des Burj Khalifa mit der Höhe $h = 0  m$ verwenden. Auf dem Weg zu seinem Absprungpunkt hat der Extremsportler einen Höhenunterschied von $h = 638  m$ überwunden. Er hat also Hubarbeit verrichtet.

Die Formel für die Hubarbeit kennen wir noch aus dem entsprechenden Kurstext:

$W = m  \cdot  g  \cdot  h$

Wir wissen aus dem Kurstext der Hubarbeit und auch aus dem Kurstext zur potentiellen Energie, dass gilt:

$W = E_{pot}$

$W = E_{pot} = m  \cdot  g  \cdot  h$    (1) |Einsetzen der Werte

$W = E_{pot} = 89  kg  \cdot  9,81  \frac{m}{s^2}  \cdot  638  m$

$W = E_{pot} = 557.031,4  \frac{kg  \cdot  m^2}{s^2}$

$W = E_{pot} = 557.031,4  Nm  \hat{=}  557.031,4  J$

$W = E_{pot}  \approx  557,03  kJ$

$\Rightarrow$  Der Extremsportler hat bei seinem Aufstieg eine Hubarbeit in Höhe von $W = 557,03  kJ$ verrichtet. Am Absprungpunkt angekommen hat er somit eine potentielle Energie, die der Hubarbeit entspricht.

Die Größenordnung der potentiellen Energie ist wie gesagt, von der Lage des Bezugsniveaus abhängig, dass zu Beginn der Berechnung festgelegt und angegeben werden muss.

Würden wir als Bezugsniveau für unsere Berechnung die Skylobby im 43. Stock des Burj Khalifa ($h_{Sky} = 162  m$) heranziehen, würden wir folgenden Wert für die potentielle Energie erhalten:

Schritt 1: Bestimmen der neuen Höhe

$\Delta h = 638  m  -  162  m = 476  m$

Schritt 2: Bestimmen von $E_{pot}$

Eingesetzt in Gleichung (1) ergibt dann:

$W = E_{pot} = 89  kg  \cdot  9,81  \frac{m}{s^2}  \cdot  476  m$

$W = E_{pot} = 415.590,84  \frac{kg  \cdot  m^2}{s^2}$

$W = E_{pot} = 415.590,84  Nm  \hat{=}  415.890,84  J$

$W = E_{pot}  \approx  415,59  kJ$

$\Rightarrow$ Nur durch die Änderung des Bezugsniveaus verringert sich die potentielle Energie um $\Delta E_{pot} = 141,44  kJ$. Jetzt ist es natürlich in der Realität so, dass der Basejumper bei Erreichen des Bezugsniveaus nicht stoppen kann, sondern trotzdem einen Höhenunterschied von $h = 638  m$ zurücklegt und daher seine potentielle Energie trotzdem $E_{pot} = 557,03  kJ$ beträgt.