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Physik

Spezifische Wärmekapazität idealer Gase

Die spezifische Wärmekapazität von Gasen hängt von den äußeren Bedingungen ab. Es wird zwischen der spezifischen Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochorer Prozess) und der spezifischen Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobarer Prozess) unterschieden. Um die spezifische Wärmekapazität herleiten zu können, führen wir die kalorische Zustandsgleichung ein.

Die kalorische Zustandsgleichung (nicht zu verwechseln mit der thermischen Zustandsgleichung) beschreibt den inneren energetischen Zustand eines homogenen thermodynamischen Systems. Die kalorische Zustandsgleichung setzt sich aus den zwei Zustandsgrößen spezifische Enthalpie $h$ und spezifische innere Energie $u$ zusammen.

Die innere Energie $U$ ist abhängig von der Temperatur $T$ und dem Volumen $V$. Eine Änderung der Temperatur führt zu einer Änderung der Wärme und dies führt zu einer Änderung der inneren Energie. Ändert sich das Volumen eines Systems, so ändert sich die Volumenänderungsarbeit $W_V$ und damit ebenfalls die innere Energie. Wir betrachten hier die spezifischen Größen:

$u = u(v, T)$   


Die Enthalpie $H$ ist abhängig vom Druck und von der Temperatur:

$h = h(p,T)$

Merke

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Spezifische Zustandsgrößen sind extensive Zustandsgrößen, welche durch die Masse $m$ geteilt werden. Sie verhalten sich dann wie intensive Zustandsgrößen:

$u = \frac{U}{m}$, $h = \frac{H}{m}$.

Wir bilden das vollständige Differential. Das bdeutet, wir leiten die spezifische innere Energie nach $v$ und nach $T$ ab und die spezifische Enthalpie nach $p$ und nach $T$.

$du = (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv + (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT$

Der erste Term ist die Ableitung von $u$ nach $v$, wobei $T$ kostant ist. Der 2. Term die Ableitung von $u$ nach $T$ wobei $v$ konstant ist.

$dh = (\frac{\partial h}{\partial p})_T dp + (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT$

Der erste Term ist die Ableitung von $h$ nach $p$, wobei $T$ kostant ist. Der 2. Term die Ableitung von $h$ nach $T$ wobei $p$ konstant ist.


Der erste Term der beiden Gleichungen wird beim idealen Gas gleich Null. Das bedeutet, dass die innere Energie und die Enthalpie nur noch von der Temperatur abhängen. 

Das bedeutet, die kalorischen Zustandsgleichungen des idealen Gases sehen wie folgt aus:

Methode

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$du =  (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT = c_v \; dT$

Methode

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$dh = (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT = c_p \; dT$

Hierbei handelt es sich nun um die spezifischen Wärmekapazitäten $c_v$ bei konstantem Volumen und $c_p$ bei konstantem Druck. 

Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases

Die Änderungen der spezifischen inneren Energie $u$ und der spezifischen Enthalpie $h$ können beim idealen Gas mittels der spezifischen Wärmekapazitäten $c_v$ und $c_p$ wie folgt bestimmt werden:

Methode

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$u_2 - u_1 = \int_1^2 c_v \; dT$                          konstantes Volumen

bzw.

$U_2 - U_1 =  m \cdot \int_1^2 c_v \; dT$

und

Methode

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$h_2 -h_1 = \int_1^2 c_p \; dT$                  konstanter Druck

bzw.

$H_2 - H_1 = m \cdot \int_1^2 c_p \; dT$

Enthalpie bei konstantem Volumen

Für die Enthalpie gilt:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + (p_2 - p_1) \cdot V_1 +  p_1 \cdot (V_2 - V_1)$.


Der letzte Term fällt dabei weg, weil keine Volumenänderung stattfindet und damit $V_2 - V_1 = 0$ ist:

$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + (p_2 - p_1) \cdot V_1 $

Einsetzen des kalorischen Ausdrucks für die innere Energie:

Methode

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$H_2 - H_1 = m \cdot \int_1^2 c_v \; dT + (p_2 - p_1) \cdot V_1 $            Enthalpie

Innere Energie bei konstantem Druck

Die innere Energie kann berechnet werden zu:

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

mit

$W_V = -\int p \; dV $

Hier fällt die Volumenänderungsarbeit nicht weg, weil nicht das Volumen sondern der Druck konstant sind. Die Integration der Volumenänderungsarbeit bei einem konstanten Druck von einem Zustand 1 zu einem Zustand 2 ergibt dann:

$W_V = - p_1 (V_2 - V_1)$

Die innere Energie lässt sich also bestimmen zu:

$U_2 - U_1 = Q - p_1 (V_2 - V_1) + W_{diss}$


Wir können nun $Q + W_{diss} =   m \cdot \int_1^2 c_p \; dT$ in die Gleichung für die innere Energie einsetzen:

Methode

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$U_2 - U_1 =  m \cdot \int_1^2 c_p \; dT - p_1 (V_2 - V_1)$         Innere Energie

Wärme und Dissipationsarbeit

Die spezifische Wärmekapazität eines homogenen thermodynamischen Systems kann gemessen werden, indem man einem System mit konstantem Volumen bzw. konstantem Druck - welches keine Änderung des Aggregatzustandes aufweist - Wärme $Q$ oder Dissipationsarbeit $W_{diss}$ zuführt:

Methode

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$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_v \; dT$               bei konstantem Volumen

Methode

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$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_p \; dT$               bei konstantem Druck

Zusammenhang zwischen den Wärmekapazitäten

Die spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$ weisen folgenden Zusammenhang auf:

Methode

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$c_p - c_v = R_i$

Die Differenz aus den spezifischen Wärmekapazitäten ist gleich der spezifischen Gaskonstante $R_i$, welche für unterschiedliche Gase aus Tabellen entnommen werden kann.

Es gilt:

Methode

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$R_i = \frac{R}{M}$

mit

$R = 8,314 J/(K \; mol)$   Universelle Gaskonstante

$M$ = Molmasse

Anwendungsbeispiel: Wärmekapazität

Beispiel

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Gegeben sei ein geschlossener nicht-adiabater Behälter mit 20 kg Luft gefüllt. Die Temperatur beträgt $t = 18°C$. Durch Dissipationsarbeit (z.B. Wellenarbeit) wird der Luft 450 kJ zugeführt. Die Luft gibt Wärme in Höhe von 585 kJ ab. Die spezifische Wärmekapazität sei $c_v = 0,8 kJ/(kg \; K)$

Wie ändert sich die innere Energie der Luft?

Welche Temperatur nimmt die Luft nach zufügen der Dissipationsarbeit und Abgabe der Wärme an?

Änderung der inneren Energie

Die Änderung der inneren Energie im geschlossen System erfolgt durch:

$U_2 - U_1 = Q + W$

mit $W = W_V + W_{diss}$


Da hier das Volumen konstant bleibt (erkannbar an der spezifischen Wärmekapazität $c_v$) fällt die Volumenänderungsarbeit $W_V$ weg und es verbleibt:

$W = W_{diss}$.

$U_2 - U_1 = Q + W_{diss} = -585 kJ + 450 kJ = -135 kJ$.   

Die innere Energie der Luft fällt um 135 kJ.

Bestimmung der Temperatur

Mit der Formel für die spezifische Wärmekapazität für konstantes Volumen kann man die Temperatur berechnen:

$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_v \; dT$


Werte einsetzen und Integral auflösen:

$-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $

$-135 kJ = 20 kg \;  [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$

$-135 kJ  = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \;  kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$

$--135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$

$-135 kJ  = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K$

Auflösen nach $T_2$:

$T_2 = \frac{-135 kJ +  4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K }{16 \; kg \; kJ/(kg \; K) } $

Einheiten kürzen:

$T_2 = \frac{-135 kJ +  4.658,40 \; kJ }{16 \; kJ/K } = 282,71 K$

$t_2 = 9,6 °C$.