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Strömungslehre - Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)

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Strömungslehre

Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)

Die Masse einer Stromröhre bleibt bei stationären Strömungen konstant (= Prinzip der Massenerhaltung). Das bedeutet also, der in die Stromröhre einfließende Massenstrom ist gleich dem aus der Stromröhre rausfließende Massenstrom. Dieses Prinzip der Massenerhaltung wird durch die sog. Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Dazu stelle man sich eine Stromröhre vor, in welche ein Massenstrom $\dot{m_1}$ fließt. Die Stromröhre besitzt einen Eingangsquerschnitt von $A_1$, die mittlere Geschwindigkeit des Massenstroms beträgt an diesem Eingangsquerschnitt $w_1$ und die Dichte beträgt $\rho_1$. Beim Ausgangsquerschnitt $A_2$ beträgt der Massenstrom $\dot{m_2}$, die mittlere Geschwindigkeit $w_2$ und die Dichte $\rho_2$. Aufgrund des Prinzips der Massenerhaltung gilt:

$\dot{m_1} = \dot{m_2}$.

Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)

Da hier davon ausgegangen wird, dass der Massenstrom konstant bleibt, kann man gemäß der obigen Grafik schreiben:

Methode

$A_1 w_1 \rho_1 = A_2 w_2 \rho_2 = \dot{m} = const.$              Kontinuitätsgleichung

mit

$A$  Querschnitt der Stromröhre

$w$  mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt der Stromröhre

$\rho$  Dichte des Fluids

$\dot{m}$  Massenstrom


Häufig kann die Dichte als konstant angesehen werden ($\rho = const.$), d.h. es handelt sich dann also um eine inkompressible Strömung. Dann vereinfacht sich die obige Gleichung zu:

Methode

$A_1 w_1 = A_2 w_2 = const.$   (inkompressible Strömung)

bzw. allgemein

Methode

$A \cdot w = \dot{V} = const.$

Anwendungsbeispiel 1: Kontinuitätsgleichung

Beispiel 1 zur Kontinuitätsgleichung

Beispiel

Gegeben sei die obige Grafik. Der Massenstrom $\dot{m_1}$ fließt in den kreisförmigen Querschnitt $A_1$ mit $r = 5cm$ und einer Geschwindigkeit von $v_1 = 0,1 m/s$. Aus dem Ausgangsquerschnitt $A_2$ mit $r = 1cm$ fließt der Massenstrom $\dot{m_2}$ aus dem System wieder heraus. Für den gegebenen Kontrollraum soll die Geschwindigkeit $v_2$ aus dem Ausgangsquerschnitt bestimmt werden. Es sollen außerdem die Massenströme bestimmt werden.

Die Kontinuitätsgleichung für eine inkompressible Strömung ($\rho = const$.) ist:

$A_1 v_1 = A_2 v_2  = \dot{m} = const.$

Umgestellt nach $v_2$:

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

Berechnung der Querschnitte:

$A_1 = \pi r^2 = \pi \cdot (0,05m)^2 = 0,0079 m^2$.

$A_2 = \pi r^2 = \pi \cdot (0,01m)^2 = 0,0003 m^2$.

$v_2 = \frac{0,0079 m^2 \cdot 0,1 \frac{m}{s}}{0,0003m^2} = 2,63 m/s$

Die Geschwindigkeit $v_2$ beim Ausströmen aus dem Ausgangsquerschnitt beträgt $2,63 m/s$.

Die Massenströme bestimmen sich durch:

$A_1 v_1 \rho_1 = A_2 v_2 \rho_2 = \dot{m} = const.$

Da $\rho = const$ gilt:

$A_1 v_1 \rho = A_2 v_2 \rho = \dot{m} = const.$

mit

$\dot{m_1} = A_1 v_1 \rho = 0,0079 m^2 \cdot 0,1 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 0,79 \frac{kg}{s}$.

$\dot{m_2} =  A_2 v_2 \rho = 0,0003 m^2 \cdot 2,63 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 0,79 \frac{kg}{s}$.

Anwendungsbeispiel 2: Kontinuitätsgleichung

Beispiel 2 zur Konitnuitätsgleichung

Beispiel

Gegeben seien zwei Wasserrohre die sich beide zu einer Sammelleitung vereinigen. Die Wasserdichte beträgt $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$. Innerhalb der Rohre herrscht eine mittlere Geschwindigkeit von $w_{1,2,3} = 3 m/s$ (gilt für alle Rohre). Die Volumenströme betragen $\dot{V_1} = 0,8 m^3/s$ und $\dot{V_2} = 0,4 m^3/s$. Die Wasserrohre haben einen kreisförmigen Querschnitt. Es sollen die erforderlichen Mindestradien $r_1$, $r_2$ und $r_3$ sowie die Massenströme $m_1$, $m_2$ und $m_3$ berechnet werden.

Für die Bestimmung der Querschnitte wird die allgemeine Formel herangezogen:

$A \cdot w = \dot{V} = const.$.

Umstellen nach $A$ ergibt:

$A = \frac{\dot{V}}{w}$

Für jeden einzelnen Querschnitt gilt dann:

$A_1 = \frac{\dot{V_1}}{w} =  \frac{0,8 \frac{m^3}{s}}{3 \frac{m}{s}} = 0,27 m^2$.

$A_2 = \frac{\dot{V_2}}{w} =  \frac{0,4 \frac{m^3}{s}}{3 \frac{m}{s}} = 0,13 m^2$.

Für den Querschnitt des Austrittsrohres ist der Volumenstrom nicht bekannt. Da es sich hierbei aber um eine stationäre Strömung handelt, gilt das Prinzip der Massenerhaltung und demnach kommt genau das aus dem Rohr wieder heraus was reingegangen ist:

$\dot{m_1} + \dot{m_2} = \dot{m_3}$.

Da es sich hierbei noch zusätzlich um eine inkompressible Strömung handelt ($\rho = const$), gilt:

$\dot{V} = const.$

und damit

$\dot{V_1} + \dot{V_2} = \dot{V_3}$.

Der Volumenstrom für das Ausgangsrohr berechnet sich also durch:

$\dot{V_3} = 0,8 \frac{m^3}{s} + 0,4 \frac{m^3}{s} = 1,2 \frac{m^3}{s}$.

Der Ausgangsquerschnitt $A_3$ beträgt demnach:

$A_3 = \frac{\dot{V_3}}{w} =  \frac{1,2 \frac{m^3}{s}}{3 \frac{m}{s}} = 0,4 m^2$.

Es kann nun aus diesen Querschnitten der jeweilige Radius bestimmt werden:

$A = \pi \cdot r^2 \; \rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.

$r_1 = \sqrt{\frac{A_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,27 m^2}{\pi}} = 0,29m$.

$r_2 = \sqrt{\frac{A_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,13 m^2}{\pi}} = 0,2m$.

$r_3 = \sqrt{\frac{A_3}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,4 m^2}{\pi}} = 0,36m$.

Die Massenströme ergeben sich zu:

$\dot{m_1} = A_1 \; w \; \rho = 0,27m^2 \cdot 3 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 809,98 \frac{kg}{s}$.

$\dot{m_2} = A_2 \; w \; \rho = 0,13m^2 \cdot 3 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 389,99 \frac{kg}{s}$.

$\dot{m_3} = \dot{m_1} + \dot{m_2} = 1199,97 \frac{kg}{m^3}$.

Drei Wasserrohre vereinigen sich in einer Sammelleitung
Drei Wasserrohre vereinigen sich in einer Sammelleitung