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Hydrodynamik > Reibungsfreie Strömungen:

Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 3: Dynamik:
 Am 31.01.2017 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
- In diesem 60-minütigen Webinar werden die kinematischen Grundaufgaben behandelt.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Die Masse einer Strömröhre bleibt bei stationären Strömungen konstant (=Prinzip der Massenerhaltung). Das bedeutet also, der in die Stromröhre einfließende Massenstrom ist gleich dem aus der Stromröhre rausfließende Massenstrom. Dieses Prinzip der Massenerhaltung wird durch die sog. Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Dazu stelle man sich eine Stromröhre vor, in welche ein Massenstrom $\dot{m_1}$ fließt. Die Stromröhre besitzt einen Eingangsquerschnitt von $A_1$, die mittlere Geschwindigkeit des Massestroms beträgt an diesem Eingangsquerschnitt $w_1$ und die Dichte beträgt $\rho_1$. Beim Ausgangsquerschnitt $A_2$ beträgt der Massenstrom $\dot{m_2}$, die mittlere Geschwindigkeit $w_2$ und die Dichte $\rho_2$. Aufgrund des Prinzips der Massenerhaltung gilt:

$\dot{m_1} = \dot{m_2}$.

Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)

Da hier davon ausgegangen wird, dass der Massenstrom konstant bleibt kann man gemäß er obigen Grafik schreiben:

Methode

$A_1 w_1 \rho_1 = A_2 w_2 \rho_2 = \dot{m} = const.$              Kontinuitätsgleichung

mit

$A$  Querschnitt der Stromröhre

$w$  mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt der Stromröhre

$\rho$  Dichte des Fluids

$\dot{m}$  Massenstrom


Häufig kann die Dichte als konstant angesehen werden ($\rho = const.$), d.h. es handelt sich dann also um eine inkompressible Strömung. Dann vereinfacht sich die obige Gleichung zu:

Methode

$A_1 w_1 = A_2 w_2 = const.$   (inkompressible Strömung)

bzw. allgemein

Methode

$A \cdot w = \dot{V} = const.$

Anwendungsbeispiel 1: Kontinuitätsgleichung

Beispiel 1 zur Kontinuitätsgleichung

Beispiel

Gegeben sei die obige Grafik. Der Massestrom $\dot{m_1}$ fließt in den kreisförmigen Querschnitt $A_1$ mit $r = 5cm$ und einer Geschwindigkeit von $v_1 = 0,1 m/s$. Aus dem Ausgangsquerschnitt $A_2$ mit $r = 1cm$ fließt der Massenstrom $\dot{m_2}$ aus dem System wieder heraus. Für den gegeben Kontrollraum soll die Geschwindigkeit $v_2$ aus dem Ausgangsquerschnitt bestimmt werden. Es sollen außerdem die Masseströme bestimmt werden.

Die Kontinuitätsgleichung für eine inkompressible Strömung ($\rho = const$.) ist:

$A_1 v_1 = A_2 v_2  = \dot{m} = const.$

Umgestellt nach $v_2$:

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

Berechnung der Querschnitte:

$A_1 = \pi r^2 = \pi \cdot (0,05m)^2 = 0,0079 m^2$.

$A_2 = \pi r^2 = \pi \cdot (0,01m)^2 = 0,0003 m^2$.

$v_2 = \frac{0,0079 m^2 \cdot 0,1 \frac{m}{s}}{0,0003m^2} = 2,63 m/s$

Die Geschwindigkeit $v_2$ beim Ausströmen aus dem Ausgangsquerschnitt beträgt $2,63 m/s$.

Die Massenströme bestimmen sich durch:

$A_1 v_1 \rho_1 = A_2 v_2 \rho_2 = \dot{m} = const.$

Da $\rho = const$ gilt:

$A_1 v_1 \rho = A_2 v_2 \rho = \dot{m} = const.$

mit

$\dot{m_1} = A_1 v_1 \rho = 0,0079 m^2 \cdot 0,1 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 0,79 \frac{kg}{s}$.

$\dot{m_2} =  A_2 v_2 \rho = 0,0003 m^2 \cdot 2,63 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 0,79 \frac{kg}{s}$.

Anwendungsbeispiel 2: Kontinuitätsgleichung

Beispiel 2 zur Konitnuitätsgleichung

Beispiel

Gegeben seien zwei Wasserrohre, wobei diese sich beide zu einer Sammelleitung vereinigen. Die Wasserdichte beträgt $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$. Innerhalb der Rohre herrscht eine mittlere Geschwindigkeit von $w_{1,2,3} = 3 m/s$ (gilt für alle Rohr). Die Volumenströme betragen $\dot{V_1} = 0,8 m^3/s$ und $\dot{V_2} = 0,4 m^3/s$. Die Wasserrohre haben einen kreisförmigen Querschnitt. Es sollen die erforderlichen Mindestradien $r_1$, $r_2$ und $r_3$ sowie die Massenströme $m_1$, $m_2$ und $m_3$ berechnet werden.

Für die Bestimmung der Querschnitte wird die allgemeine Formel herangezogen:

$A \cdot w = \dot{V} = const.$.

Umstellen nach $A$ ergibt:

$A = \frac{\dot{V}}{w}$

Für jeden einzelnen Querschnitt gilt dann:

$A_1 = \frac{\dot{V_1}}{w} =  \frac{0,8 \frac{m^3}{s}}{3 \frac{m}{s}} = 0,27 m^2$.

$A_2 = \frac{\dot{V_2}}{w} =  \frac{0,4 \frac{m^3}{s}}{3 \frac{m}{s}} = 0,13 m^2$.

Für den Querschnitt des Austrittsrohres ist der Volumenstrom nicht bekannt. Da es sich hierbei aber um eine stationäre Strömung handelt gilt das Prinzip der Massenerhaltung und demnach kommt genau das aus dem Rohr wieder raus, was reingegangen ist:

$\dot{m_1} + \dot{m_2} = \dot{m_3}$.

Da es sich hierbei noch zusätzlich um eine inkompressible Strömung handel ($\rho = const$), gilt:

$\dot{V} = const.$

und damit

$\dot{V_1} + \dot{V_2} = \dot{V_3}$.

Der Volumenstrom für das Ausgangsrohr berechnet sich also durch:

$\dot{V_3} = 0,8 \frac{m^3}{s} + 0,4 \frac{m^3}{s} = 1,2 \frac{m^3}{s}$.

Der Ausgangsquerschnitt $A_3$ beträgt demnach:

$A_3 = \frac{\dot{V_3}}{w} =  \frac{1,2 \frac{m^3}{s}}{3 \frac{m}{s}} = 0,4 m^2$.

Es kann nun aus diesen Querschnitten der jeweilige Radius bestimmt werden:

$A = \pi \cdot r^2 \; \rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.

$r_1 = \sqrt{\frac{A_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,27 m^2}{\pi}} = 0,29m$.

$r_2 = \sqrt{\frac{A_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,13 m^2}{\pi}} = 0,2m$.

$r_3 = \sqrt{\frac{A_3}{\pi}} = \sqrt{\frac{0,4 m^2}{\pi}} = 0,36m$.

Die Massenströme ergeben sich zu:

$\dot{m_1} = A_1 \; w \; \rho = 0,27m^2 \cdot 3 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 809,98 \frac{kg}{s}$.

$\dot{m_2} = A_2 \; w \; \rho = 0,13m^2 \cdot 3 \frac{m}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 389,99 \frac{kg}{s}$.

$\dot{m_3} = \dot{m_1} + \dot{m_2} = 1199,97 \frac{kg}{m^3}$.

Drei Wasserrohre vereinigen sich in einer Sammelleitung
Drei Wasserrohre vereinigen sich in einer Sammelleitung
Multiple-Choice
Gegeben ist ein Rohr mit einer stationären Strömung. Der Durchmesser am Anfang und am Ende des Rohrs sollen so gewählt werden, dass die Strömungsgeschwindigkeit gleich bleibt.Wie verhalten sich $A_1$ und $A_2$ zueinander?
0/0
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Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jessica Scholz

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