Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen

In diesem Abschnitt werden nun Rohrleitungen mit Pumpen für reibungsbehaftete Strömungen betrachtet. Das bedeutet, dass der Verlustterm hier berücksichtigt werden muss. 

Arbeitszufuhr der Pumpe

Wie im vorherigen Kapitel bereits gezeigt, ergibt sich die Nutzarbeit der Pumpe aus der Bernoullischen Energiegleichung. Fließt eine Strömung von $1$ nach $2$ und liegt eine Pumpe dazwischen, so ergibt sich die Bernoullische Energiegleichung unter Berücksichtigung von Reibung, zu:

Dabei wird in der Energiegleichung der Verlustterm  $e_v = \xi \frac{1}{2} \; w_2^2 + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; w_2^2$ auch als Energieverlust bezeichnet. In manchen Aufgabenstellungen wird nach dem Energieverlust gefragt, hier muss nur dieser Term berechnet werden.

Förderhöhe der Pumpe

Die Förderhöhe der Pumpe kann mittels der Bernoullischen Höhengleichung bestimmt werden. Es wird wieder eine Strömung von $1$ nach $2$ betrachtet und die Pumpe liegt dazwischen. Es gilt:

Dabei wird bei der Höhengleichung der Verlustterm $h_v = \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} +  \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}$ auch als Verlusthöhe bezeichnet. In manchen Aufgabenstellungen wird nach der Verlusthöhe gefragt, hier muss nur dieser Term berechnet werden. Wird hingegen nach der Förderhöhe gefragt, so muss die obige Gleichung angewandt werden.

Druckerhöhung innerhalb der Pumpe

Um den Förderdruck der Pumpe bestimmen zu können, wird die Bernoullische Druckgleichung herangezogen. Es wird wieder die Strömung von $1$ nach $2$ mit der dazwischen positionierten Pumpe betrachtet:

Dabei wird bei der Druckgleichung der Verlustterm $\triangle p_v = \xi \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho$ auch als Druckverlust bezeichnet. In manchen Aufgabenstellungen wird nach dem Druckverlust gefragt, hier muss nur dieser Term berechnet werden. Wird hingegen nach dem Förderdruck gefragt, so muss die obige Gleichung angewandt werden.

Berücksichtigung der Pumpenleistung

Man kann das Ganze auch mittels Pumpenleistung ausdrücken. Allgemein gilt:

$P = W \cdot \dot{m}$

Dabei soll in diesem Fall $P$ die Leistungsabgabe der Pumpe an das Fluid darstellen.

Da eine Arbeitszufuhr $W_P$ innerhalb der Pumpe stattfindet, kann man diese auch ausdrücken durch:

$W_P = \frac{P}{\dot{m}}$.

Für die Energiegleichung gilt dann:

Für die Höhengleichung gilt ($H_P = \frac{W_P}{g}$):

Für die Druckgleichung gilt ($D_P = W_P \cdot \rho$):

Wirkungsgrad der Pumpe

Der Wirkungsgrad der Pumpe ergibt sich zu:

$\eta = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\text{Leistungsaufnahme der Pumpe}}$

Beispiel: Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen

(a) Verlusthöhe

Die Verlusthöhe ist der Verlustterm der Bernoullischen Höhengleichung:

$h_v = \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} +  \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}$

Einzelverluste

Die Verlustbeiwerte $\xi$ für Einzelverluste aufgrund von Einläufen, Rohrkrümmern etc. können alle miteinander addiert werden:

$\xi = 0,5 + 0,14 + 0,21 = 0,85$.

Geschwindigkeit

Als nächstes muss die Geschwindigkeit bestimmt werden, welche sich aus dem Volumenstrom berechnen lässt. Es sollen $951 m^3$ Wasser innerhalb von 24 Stunden befördert werden:

$\dot{V} = 951 \frac{m^3}{24 h}$.

Umgerechnet auf $\frac{m^3}{s}$ ergibt sich ($24 h = 60 * 60 * 24 s = 86.400 s$):

$\dot{V} = \frac{951}{86.400} \frac{m^3}{s} = 0,011 \frac{m^3}{s}$.

Es kann nun die Geschwindigkeit $w_2$ bestimmt werden mit:

$\dot{V} = w_2 \cdot A$.

Es muss der Querschnitt des Rohrs herangezogen werden, da der Punkt $2$ sich innerhalb des Rohrs befindet. Der Querschnitt des Rohrs kann mit dem Rohrdurchmesser $d = 0,15m$ berechnet werden:

$A = d^2 \cdot \frac{\pi}{4} = (0,15 m)^2 \cdot \frac{\pi}{4} = 0,0177 m^2 m^2$.

Die Geschwindigkeit $w_2$ ergibt sich also durch:

$w_2 = \frac{\dot{V}}{A} = \frac{0,011  \frac{m^3}{s}}{0,0177 m^2} = 0,621 \frac{m}{s}$.

Rohrreibungszahl

Als nächstes muss die Rohrreibungszahl $\lambda$ für die streckenabhängigen Verluste bestimmt werden. Hier muss zum einen die Reynolds-Zahl berechnet werden mit

$Re = \frac{w \cdot d_{hyr}}{\nu}$

und die Wandrauigkeit mit

$\frac{k}{d_{hyd}}$.

Da hier der Durchmesser $d$ für kreisförmige Rohre verwendet wird, ist der hydraulische Durchmesser $d_{hyd}$ gleich dem tatsächlichen Durchmesser. Dieser kann demnach aus der Aufgabenstellung übernommen werden.

Die Reynolds-Zahl ergibt sich zu:

$Re = \frac{0,621 \frac{m}{s} \cdot 0,15 m}{ 1 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 93.150$

In der Aufgabenstellung ist eine kritische Reynolds-Zahl von $Re_{krit} = 2.300$ angegeben. Die Reynolds-Zahl liegt oberhalb dieser kritischen Reynolds-Zahl, weshalb es sich hierbei um eine turbulente Strömung handelt. Es muss also das Moody-Diagramm herangezogen werden. Hierfür wird noch die Wandrauigkeit benötigt:

$\frac{k}{d_{hyd}} = \frac{0,1 mm}{0,15m} = \frac{0,0001 m}{0,15 m} = 0,00067 = 6,7 \cdot 10^{-4}$.

Nachdem nun die Reynolds-Zahl $Re = 93.150 = 9,3 \cdot 10^4$ und die Wandrauigkeit $\frac{k}{d} = 6,7 \cdot 10^{-4}$ ermittelt worden sind, kann als nächstes mittels Moody-Diagramm die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden:

Aus der Grafik kann man dann die Rohrreibungszahl ablesen. Diese liegt bei ungefähr:

$\lambda \approx 0,022$.

Es sind nun alle Werte gegeben, um die Verlusthöhe zu bestimmen:

$h_v = \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} +  \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}$

$h_v = 0,85 \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} +  0,022 \frac{200 m}{0,15 m} \frac{1}{2} \; \frac{((0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}$

$h_v = 0,59 m$.

(b) Leistungsaufnahme der Pumpe

Um herauszufinden, wie hoch die Leistungsaufnahme der Pumpe bei einem Wirkungsgrad von 0,6 sein muss, muss zunächst die Leistungsabgabe der Pumpe bestimmt werden. Denn wenn die Höhe der Leistungsabgabe bekannt ist, dann kann man mittels des Wirkungsgrades die Leistungsaufnahme der Pumpe bestimmen.

Die Leistungsabgabe $P$ kann man aus den Formeln "Berücksichtigung der Pumpenleistung" berechnen. Es wird hier die Bernoullische Höhengleichung herangezogen, da die Verlusthöhe bereits berechnet worden ist:

$\scriptsize{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} + \frac{P}{g \; \dot{m}} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} +  \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}}$

$\scriptsize{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} + \frac{P}{g \; \dot{m}} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + h_v}$

Zunächst werden alle bekannten Werte eingesetzt.

$z_1 = h_1 = 8m$, $z_2 = h_2 = 25m$, $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$, $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$

Da der Behälter offen ist, gilt für $p_1 = p_b$. Auch das Rohr ist am Ende im Punkt $2$ offen, es gilt also: $p_1 = p_2 = p_b = 100.000 Pa$.

Eingesetzt und gekürzt ergibt sich:

$\scriptsize{8m + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + \frac{P}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \dot{m}} =  25 m + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + 0,59 m}$

Es fehlen noch die Geschwindigkeiten $w_1$ und $w_2$.

Für die Geschwindigkeit $w_1$ gilt (da $A_1 >> d$), dass diese gegen null geht. Da sich der Flüssigkeitsspiegel so langsam senkt, kann die Geschwindigkeit hier vernachlässigt werden. 

Die Geschwindigkeit $w_2$ ist bereits in (a) ermittelt worden:

$w_2 = 0,621 \frac{m}{s}$.

Es fehlt zuletzt noch der Massenstrom $\dot{m}$. Dieser ergibt sich aus:

$\dot{m} = \dot{V} \cdot \rho = 0,011 \frac{m^3}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 11 \frac{kg}{s}$

Auch diesen einsetzen in die Gleichung:

$\small{8m + \frac{P}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 11 \frac{kg}{s}} =  25 m + \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + 0,017 m}$

Auflösen der Gleichung nach der Pumpenleistung:

$\small{8m + \frac{P}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 11 \frac{kg}{s}} =  25 m + \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + 0,59 m}$

$\frac{P}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 11 \frac{kg}{s}} = 17 m + \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + 0,017 m$

$P = (17 m + \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + 0,59 m) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 11 \frac{kg}{s}$

$P = 1.900 W$

Die Leistung der Pumpe beträgt also 1.900 Watt.

Es soll nun die Leistungsaufnahme der Pumpe berechnet werden, wobei ein Wirkungsgrad von 0,6 gegegeben ist. Das bedeutet ganz einfach, dass nur 60% der Leistungsaufnahme der Pumpe (zugeführte Leistung) tatsächlich von der Pumpe an das Fluid abgegeben werden. Berechnet wird dies durch:

$\eta = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\text{Leistungsaufnahme der Pumpe}}$

$\text{Leistungsaufnahme der Pumpe} = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\eta}$

$P_A = \frac{P}{\eta} = \frac{1.900 W}{0,6} = 3.166,67 W$.

Der Pumpe müssen also mindestens 3.166,67 Watt zugeführt werden, damit am Ende eine Leistungsabgabe von den berechneten 1.900 Watt resultiert. Bei einem höheren Wirkungsgrad muss der Pumpe weniger zugeführt werden, bei einem geringeren Wirkungsgrad muss der Pumpe mehr Watt zugeführt werden.

(c) Überdruck vor und hinter der Pumpe

Zunächst einmal muss geklärt werden, wie man einen Überdruck berechnet. Der Überdruck berechnet sich im Punkt $V$ (siehe obige Grafik) durch den Druck $p_V$ in diesem Punkt, abzüglich des Atmosphärendrucks. Der Atmosphärendruck ist hier $p_b = 100.000 Pa$. Da der Druck $p_1$ gleich dem Atmosphärendruck ist, kann man also die Bernoulli-Gleichung von $1$ nach $V$ verwenden und dann nach $p_V - p_1$ umstellen. Der Pumpenterm wird hier nicht berücksichtigt, da der Punkt $V$ vor der Pumpe liegt. Auch hier muss wieder die Höhengleichung verwendet werden, da die Verlusthöhe $h_v$ mitberücksichtigt werden muss.

 $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_V + \frac{1}{2} \; \frac{w_V^2}{g}  + \frac{p_V}{g \; \rho} + h_v}$

Der Überdruck berechnet sich durch $p_V - p_1$. Umstellen der Gleichung ergibt:

$p_V - p_1 = (z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  - z_V - \frac{1}{2} \; \frac{w_V^2}{g} - h_v ) \cdot \rho \cdot g$

Einsetzen der Werte:

Es gilt wieder $A_1 >> d$ und damit $w_1 \approx 0$. Die Geschwindigkeit $w_V$ berechnet sich wieder mittels Volumenstrom:

$\dot{V} = w \cdot A$.

Da der Rohrquerschnitt $A_{Rohr}$ konstant ist und auch der Volumenstrom $\dot{V}$, ist die Geschwindigkeit $w_V$ gleich $w_2$:

$w_V = w_2 = 0,621 \frac{m}{s}$.

Es gilt $z_1 = h_1 = 8m$. Außerdem gilt $z_V = 0$, da der Punkt $V$ bereits auf dem Bezugsniveau liegt.

Die Verlusthöhe $h_v$ muss nun angepasst werden. Die Rohrreibungszahl $\lambda$ bleibt bestehen, da sich an der Reynolds-Zahl und der Wandrauigkeit nichts ändert. Aber es muss nur die Rohrlänge bis zur Pumpe berücksichtigt werden $l_s = 80m$ ($s$ steht für Saugseite). Der Verlustbeiwert $\xi$ ändert sich ebenfalls, da nur die Verluste berücksichtigt werden, die auch zwischen $1$ bis $V$ liegen. Demnach ist $\xi = 0,5$.

$h_v =  \xi \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g} +  \lambda \frac{L}{d} \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}$

$h_v = 0,5 \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} + 0,022 \frac{80 m}{0,15 m} \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}$

$h_v = 0,24 m$

Die Drücke müssen hier nicht berücksichtigt werden, da der Überdruck $p_V - p_1$ berechnet werden soll:

$p_V - p_1 = (8m - \frac{1}{2} \; \frac{(0,621 \frac{m}{s})^2}{9,81 \frac{m}{s^2}} - 0,24 m) \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$

$p_V - p_1 = 75.930,50 Pa$.

Es wird als nächstes der Druck hinter der Pumpe berechnet. Hierbei muss nun der Punkt $N$ betrachtet werden. Man kann nun natürlich die Bernoulli-Gleichung von $1$ nach $N$ aufstellen und dabei den Pumpenterm miteinbeziehen. Einfacher ist aber, wenn man den berechneten Überdruck vor der Pumpe verwendet und den Pumpenterm hinzuaddiert. Schon hat man den Überdruck hinter der Pumpe gegeben.

$p_V - p_1 = p_{üV}$

$p_{üV} + \text{Pumpenterm} = p_{üN}$.

$p_{üV} + \frac{P \; \rho}{\dot{m}} = p_{üN}$

$p_{üN} = 75.930,50 Pa + \frac{1.900 W \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}}{ 11 \frac{kg}{s}} = 248.652,59 Pa$.

Der Überdruck direkt hinter der Pumpe beträgt also 248.652,59 Pascal.

Man kann zur Berechnung auch statt der Druckgleichung z.B. die Höhengleichung heranziehen. Da hier der Pumpenterm aber ein wenig anders aussieht, muss man auch den Term der Drücke aus dieser Höhengleichung übernehmen:

$\frac{p_{üV}}{\rho \; g} + \frac{P}{g \; \dot{m}} = \frac{p_{üN}}{\rho \; g}$.

Nach Auflösung nach $p_{üN}$ resultiert dasselbe Ergebnis.