Pumpen bei reibungsfreien Strömungen

Pumpen erhöhen die Arbeitsfähigkeit des strömenden Fluids, weshalb diese innerhalb der Bernoulli-Gleichungen berücksichtigt werden müssen. In diesem Abschnitt wird von einer reibungsfreien Strömung ausgegangen, weshalb der Verlustterm nicht berücksichtigt werden muss.

Arbeitszufuhr innerhalb der Pumpe

Der Pumpenterm wird zunächst für die Bernoullische Energiegleichung berücksichtigt. Innerhalb der Pumpe findet eine Arbeitszufuhr

statt, die berücksichtigt werden muss. Diese wird auch oft als spezifische Stutzenarbeit $Y$ bezeichnet. Fließt eine Strömung von $1$ nach $2$ und befindet sich die Pumpe zwischen diesen Punkten, so wird der Pumpenterm auf der linken Seite (beim Index $1$) berücksichtigt. Dabei ist die Seite links von der Pumpe mit dem Index $1$ die Saugseite und die Seite rechts von der Pumpe mit dem Index $2$ die Druckseite.

Es wird nun die Pumpe innerhalb der Bernoulli-Energiegleichung berücksichtigt. Befindet sich die Pumpe zwischen $1$ und $2$, so gilt:

Förderhöhe der Pumpe

Wird die Bernoullische Höhengleichung herangezogen, so ist der Pumpenterm

zu berücksichtigen. Dabei ist $H_P$ die Förderhöhe der Pumpe in [m] und $\triangle{p_P}$ die Druckerhöhung innerhalb der Pumpe (Energiezufuhr in der Pumpe pro Volumeneinheit).

Fließt also eine Strömung von $1$ nach $2$, so muss der Term auf der linken Seite berücksichtigt werden:

Druckerhöhung innerhalb der Pumpe

Innerhalb der Bernoullischen Druckgleichung muss nur die Druckerhöhung $D_P = \triangle{p_P}$ berücksichtigt werden:

Berücksichtigung der Pumpenleistung

Man kann das Ganze auch mittels Pumpenleistung ausdrücken. Allgemein gilt:

$P = W \cdot \dot{m}$

Dabei soll in diesem Fall $P$ die Leistungsabgabe der Pumpe an das Fluid darstellen.

Da eine Arbeitszufuhr $W_P$ innerhalb der Pumpe stattfindet, kann man diese auch ausdrücken durch:

$W_P = \frac{P}{\dot{m}}$.

Für die Energiegleichung gilt dann:

Für die Höhengleichung gilt ($H_P = \frac{W_P}{g}$):

Für die Druckgleichung gilt ($D_P = W_P \cdot \rho$):

Wirkungsgrad der Pumpe

Der Wirkungsgrad der Pumpe ergibt sich zu:

$\eta = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\text{Leistungsaufnahme der Pumpe}}$

Beispiel: Pumpen bei reibungsfreien Strömungen

(a) Leistungsaufnahme der Pumpe

Um herauszufinden, wie hoch die Leistungsaufnahme der Pumpe bei einem Wirkungsgrad von 0,6 sein muss, muss zunächst die Leistungsabgabe der Pumpe bestimmt werden. Denn wenn die Höhe der Leistungsabgabe bekannt ist, dann kann man mittels des Wirkungsgrades die Leistungsaufnahme der Pumpe bestimmen.

Die Leistungsabgabe $P$ kann man aus den Formeln "Berücksichtigung der Pumpenleistung" berechnen. Es ist dabei unbedeutend, welche Formel von den drei Bernoulli-Gleichungen verwendet wird. Es wird hier die Energiegleichung herangezogen:

 $g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho}  + \frac{P}{\dot{m}} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho} $

Zunächst werden alle bekannten Werte eingesetzt:

$z_1 = h_1 = 8m$, $z_2 = h_2 = 25m$, $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$, $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$

Da der Behälter offen ist, gilt für $p_1 = p_b$. Auch das Rohr ist am Ende im Punkt $2$ offen, es gilt also: $p_1 = p_2 = p_b = 100.000 Pa$.

Eingesetzt ergibt:

$\small{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8 m + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{100.000 Pa}{999,97 \frac{kg}{m^3}}  + \frac{P}{\dot{m}} =  9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 25m + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{100.000 Pa}{999,97 \frac{kg}{m^3}}} $

Kürzen ergibt:

$9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8 m + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{P}{\dot{m}} =  9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 25m + \frac{1}{2} \; w_2^2$

Es fehlen noch die Geschwindigkeiten $w_1$ und $w_2$.

Für die Geschwindigkeit $w_1$ gilt (da $A_1 >> d$), dass diese gegen null geht. Da sich der Flüssigkeitsspiegel so langsam senkt, kann die Geschwindigkeit hier vernachlässigt werden. 

Die Geschwindigkeit $w_2$ kann mittels Volumenstrom bestimmt werden:

$\dot{V} = w \cdot A$

In diesem Fall ist der Punkt $2$ im Rohr und der Querschnitt $A$ für das Rohr. Es ergibt sich aus dem Durchmesser:

$A_{Rohr} = d^2 \frac{\pi}{4} = (0,15 m)^2 \frac{\pi}{4} = 0,0177 m^2$.

Die Geschwindigkeit ergibt sich mit (Umrechnen des Volumenstroms in $\frac{m^3}{s}$ nicht vergessen):

$w_2 = \frac{\dot{V}}{A_{Rohr}} = \frac{\frac{40}{3.600} \frac{m^3}{s}}{0,0177 m^2} = 0,628 \frac{m}{s}$.

Diese beiden Werte können nun eingesetzt werden:

$9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8 m + \frac{P}{\dot{m}} =  9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 25m + \frac{1}{2} (0,628 \frac{m}{s})^2$

Es fehlt zuletzt noch der Massenstrom $\dot{m}$. Dieser ergibt sich aus:

$\dot{m} = \dot{V} \cdot \rho = \frac{40}{3.600} \frac{m^3}{s} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} = 11,11 \frac{kg}{s}$

Auch diesen einsetzen in die Gleichung:

$9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8 m + \frac{P}{11,11 \frac{kg}{s}} =  9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 25m + \frac{1}{2} (0,628 \frac{m}{s})^2$

Auflösen der Gleichung nach der Pumpenleistung:

$\frac{P}{11,11 \frac{kg}{s}} = 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 25m + \frac{1}{2} (0,628 \frac{m}{s})^2 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8 m $

$\frac{P}{11,11 \frac{kg}{s}} = 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 17m + \frac{1}{2} (0,628 \frac{m}{s})^2$

$P= (9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 17m + \frac{1}{2} (0,628 \frac{m}{s})^2) \cdot 11,11 \frac{kg}{s}$

$P = 1.855 \frac{kg \; m^2}{s^3} = 1.855 W$.

Die Leistung der Pumpe beträgt also 1.855 Watt.

Es soll nun die Leistungsaufnahme der Pumpe berechnet werden, wobei ein Wirkungsgrad von 0,6 gegeben ist. Das bedeutet ganz einfach, dass nur 60% der Leistungsaufnahme der Pumpe (zugeführte Leistung) tatsächlich von der Pumpe an das Fluid abgegeben werden. Berechnet wird dies durch:

$\eta = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\text{Leistungsaufnahme der Pumpe}}$

$\text{Leistungsaufnahme der Pumpe} = \frac{\text{Leistungsabgabe an das Fluid}}{\eta}$

$P_A = \frac{P}{\eta} = \frac{1.855 W}{0,6} = 3.091,67 W$.

Der Pumpe müssen also mindestens 3.091,67 Watt zugeführt werden, damit am Ende eine Leistungsabgabe von den berechneten 1.855 Watt erreicht werden kann. Bei einem höheren Wirkungsgrad muss der Pumpe weniger zugeführt werden, bei einem geringeren Wirkungsgrad muss der Pumpe mehr Watt zugeführt werden.

(b) Überdruck vor und hinter der Pumpe

Zunächst einmal muss geklärt werden, wie man einen Überdruck berechnet. Der Überdruck berechnet sich im Punkt $V$ durch den Druck $p_V$ im Punkt $V$ abzüglich des Atmosphärendrucks. Der Atmosphärendruck ist hier $p_b = 100.000 Pa$. Da der Druck $p_1$ gleich dem Atmosphärendruck ist, kann man also die Bernoulli-Gleichung von $1$ nach $V$ verwenden und dann nach $p_V - p_1$ umstellen. Der Pumpenterm wird hier nicht berücksichtigt, da der Punkt $V$ vor der Pumpe liegt:

 $g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho}  =  g \; z_V + \frac{1}{2} \; w_V^2  + \frac{p_V}{\rho} $

Der Überdruck berechnet sich durch $p_V - p_1$. Umstellen der Gleichung ergibt:

$p_V - p_1 = (g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  - g \; z_V - \frac{1}{2} \; w_V^2 ) \cdot \rho$

Einsetzen der Werte:

Es gilt wieder $A_1 >> d$ und damit $w_1 \approx 0$. Die Geschwindigkeit $w_V$ berechnet sich wieder mittels Volumenstrom:

$\dot{V} = w \cdot A$.

Da der Rohrquerschnitt $A_{Rohr}$ konstant ist und auch der Volumenstrom $\dot{V}$, ist die Geschwindigkeit $w_V$ gleich $w_2$:

$w_V = w_2 = 0,628 \frac{m}{s}$.

Es gilt $z_1 = h_1 = 8m$. Außerdem gilt $z_V = 0$, da der Punkt $V$ bereits auf dem Bezugsniveau liegt.

Die Drücke müssen hier nicht berücksichtigt werden, da der Überdruck $p_V - p_1$ berechnet werden soll:

$p_V - p_1 = (9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8m - \frac{1}{2} \; (0,628 \frac{m}{s})^2 ) \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

$p_V - p_1 = 78.280,46 Pa$.

Es wird als nächstes der Druck hinter der Pumpe berechnet. Hierbei muss nun der Punkt $N$ betrachtet werden. Man kann nun natürlich die Bernoulli-Gleichung von $1$ nach $N$ aufstellen und dabei den Pumpenterm berücksichtigen. Einfacher ist aber, wenn man den berechneten Überdruck vor der Pumpe verwendet und den Pumpenterm hinzuaddiert. Schon hat man den Überdruck hinter der Pumpe gegeben.

$p_V - p_1 = p_{üV}$

$p_{üV} + \text{Pumpenterm} = p_{üN}$.

$p_{üV} + \frac{P \; \rho}{\dot{m}} = p_{üN}$

$p_{üN} = 78.280,46 Pa + \frac{1.855 W \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}}{ 11,11 \frac{kg}{s}} = 245.242,15 Pa$.

Der Überdruck nach der Pumpe beträgt also 245.242,15 Pascal.

Man kann zur Berechnung auch statt der Druckgleichung z.B. die Höhengleichung heranziehen. Da hier der Pumpenterm aber ein wenig anders aussieht, muss man auch den Term der Drücke aus dieser Höhengleichung übernehmen:

$\frac{p_{üV}}{\rho \; g} + \frac{P}{g \; \dot{m}} = \frac{p_{üN}}{\rho \; g}$.

Nach Auflösung nach $p_{üN}$ resultiert dasselbe Ergebnis.