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Strömungslehre - Druckkräfte auf gekrümmte Flächen

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Strömungslehre

Druckkräfte auf gekrümmte Flächen

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Druckkräfte auf gekrümmten Flächen bestimmt. Bei gekrümmten Flächen gilt:

  • Die vertikal projizierte Fläche ist bei gekrümmten Flächen eine rechteckige Fläche,
  • handelt es sich um einen kreisförmigen Querschnitt, dann geht die resultierende Druckkraft durch den Mittelpunkt des Kreises,
  • die Wirkungslinie der Horizontalkraft geht durch den Schwerpunkt der Dreieckslast (wie bei rechteckigen Flächen),
  • die Wirkungslinie der Vertikalkraft geht durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Fläche.
  • Die Wirkungslinien verlaufen - wie bei rechteckigen Flächen - alle durch den Druckmittelpunkt. Die Koordinaten des Druckmittelpunktes können aus den Wirkungslinien der Horizontalkraft (im Schwerpunkt der Dreieckslast) und der Vertikalkraft (im Schwerpunkt der Wasserlast oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Fläche) bestimmt werden. 

Es wird im Weiteren gezeigt, wie man die resultierende Druckkraft, die Vertikalkraft und die Horizontalkraft sowie ihre Wirkungslinien für gekrümmte Flächen bestimmt. Es wird auch gezeigt, dass für gekrümmte Flächen eine Druckmittelpunktbestimmung nicht notwendig ist.

Gekrümmte Flächen im Tank eines Tankwagen
Gekrümmte Flächen im Tank eines Tankwagen

Anwendungsbeispiel: Gekrümmte Flächen (halbkreisförmiger Zylinder)

Beispiel Druckkräfte auf halbkreisförmige Fläche

Beispiel

Gegeben sei obiges Becken, welches mit Wasser gefüllt ist. Es sollen die Druckkräfte auf die halbkreisförmige zylindrische Wand berechnet werden. Der Radius beträgt $R = 3m$. 

Bestimmung der Horizontalkraft

Die senkrechte Wasserhöhe beträgt zwei mal den Radius, also $2 \cdot 3m = 6m$. Es wird zunächst die Horizontalkraft bestimmt:

$F_H =  \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$.

Es wird nun zunächst die gekrümmte Fläche wieder vertikal projiziert. In diesem Beispiel ist der Radius gegeben, somit ist die gesamte Höhe der projizierten Fläche gleich $2 \cdot R = 6m$. In der nachfolgenden Grafik ist die projizierte Fläche dreidimensional eingezeichnet, denn es handelt sich hierbei ja um ein dreidimensionales Becken. Zur besseren Übersicht bezüglich der Abmessungen der projizierten Fläche ist diese deswegen dreidimensional eingezeichnet worden.

Horizontalkomponente

Die projizierte Fläche für die Horizontalkraft (in $x$-Richtung) ergibt sich aus den Abmessungen der $y$-$z$-Richtung:

$A_{proj} = 6m \cdot 1m = 6m^2$.

Merke

Da in der Aufgabenstellung die Breite nicht angegeben ist, wird mit $y = b = 1m$ gerechnet.

Der Schwerpunkt wird nun anhand der projizierten Fläche bestimmt. Da es sich hierbei um eine rechteckige Fläche handelt, befindet sich der Querschnitt in der Mitte. Der senkrechte Abstand $h_s$ vom Schwerpunkt zur Flüssigkeitsoberfläche beträgt also

$h_s = 3m$.

Die Horizontalkraft beträgt:

Methode

$F_H = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 6m^2 = 176.574,70 N$.


Als nächstes muss die Wirkungslinie der Horizontalkraft bestimmt werden. Bei gekrümmten Flächen kann man die Wirkungslinie berechnen wie bei rechteckigen Flächen. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft liegt bei rechteckigen Flächen im Schwerpunkt der Dreieckslast, also bei $\frac{2}{3}$ der Höhe. Die gesamte Höhe der projizierten Fläche beträgt $z = 6m$. Der Schwerpunkt und damit der Angriffspunkt der Horizontalkraft liegen dann bei $\frac{2}{3} \cdot 6m = 4m$. Der Druckmittelpunkt muss hier also nicht extra berechnet werden. Dieser liegt also schon mal in $z$-Richtung bei $\frac{2}{3}$ der Höhe.

Merke

Bei gekrümmten Flächen liegt der Angriffspunkt der Horizontalkraft im Schwerpunkt der Dreieckslast.

Wirkungslinie Horizontalkraft
Bestimmung der Vertikalkraft

Die Vertikalkraft kann hier bestimmt werden, indem das Wasservolumen oberhalb bzw. unterhalb der Wand berechnet wird. Es muss hier keine Fläche projiziert werden, da das Wasservolumen ganz einfach mittels der Berechnung des Volumens eines Halbkreises bestimmt werden kann. Die Vertikalkraft berechnet sich allgemein:

$F_V = \rho \; g \; V$.

Dabei ist $V$ das Wasservolumen oberhalb bzw. unterhalb der halbkreisförmigen Wand.

Vertikalkomponente

Die Fläche eines Halbkreises berechnet sich durch:

$A = \frac{\pi \cdot R^2}{2}$.

Das Ganze mit der Breite von 1 m multipliziert ergibt das Volumen:

$V =  \frac{\pi \cdot (3m)^2}{2} \cdot 1m = 14,14 m^3$.

Die Vertikalkraft beträgt:

Methode

$F_V = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 14,14m^3 = 138.709,24 N$.


Es fehlt noch die Wirkungslinie der Vertikalkraft. Die Vertikalkraft verläuft durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Wand. Ein Halbkreis hat seinen Schwerpunkt bei

$x_s = \frac{4 \cdot R}{3 \cdot \pi}$   und    $z_s = 0$.

Schwerpunkt Halbkreis

Der Schwerpunkt liegt also (wenn man das Koordinatensystem in den Mittelpunkt legt) bei:

$x_s = \frac{4 \cdot 3m}{3 \cdot \pi} = 1,27 m$.

Da auch die Vertikalkraft bei gekrümmten Flächen durch den Druckmittelpunkt verläuft, hat man hier die Koordinate für diesen in $x$-Richtung gegeben. 

Wirkungslinie Vertikalkraft
Bestimmung der Resultierenden

Der Betrag der Resultierenden berechnet sich zu:

Methode

$F_R = \sqrt{F_H^2 + F_V^2} = \sqrt{(176.574,70 N)^2 + (138.709,24 N)^2} = 224.541,48 N$.


Die Wirkungslinie der Resultierenden berechnet sich durch:

$\tan(\alpha) = \frac{F_V}{F_H}$.

Methode

$\alpha = \tan^{-1} \frac{138.709,24 N}{176.574,70 N} = 38,15 °$.

Resultierende, Druckmittelpunkt

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Vertikalkraft $F_V$ , die Horizontalkraft $F_H$  und die Resultierende $F_R$ alle durch den Druckmittelpunkt $D$ verlaufen. Bei gekrümmten Flächen gilt also dasselbe wie bei rechteckigen Flächen. Deswegen muss hier der Druckmittelpunkt nicht extra separat ermittelt werden, da sich dieser aus den Wirkungslinien der Vertikal- und Horizontalkraft ergibt. Die Resultierende $F_R$ geht zudem bei kreisförmigen Flächen (hier: Halbkreis) durch den Kreismittelpunkt $M$. 

Anwendungsbeispiel: Gekrümmte Flächen (Viertelellipsenform)

Gekrümmte Flächen Ellipse

Beispiel

Die obige Grafik zeigt ein mit Wasser gefülltes Becken der Höhe $h = z = 10m$ und der Breite $b = y = 0,5m$. Die gekrümmte Wand hat die Form einer Viertelellipse. Bestimmen Sie die Horizontalkraft, Vertikalkraft und Resultierende auf dieser gekrümmten Wand sowie die Wirkungslinien dieser.

Bestimmung der Horizontalkraft

Die Horizontalkraft wird bestimmt durch:

$F_H =  \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$.

Die projizierte Fläche ist analog zu der bei dem obigen Halbkreis mit den Abmessungen in $y$,$z$-Richtung:

$A_{proj} = 10 m \cdot 0,5m =  5m^2$.

Da es sich hierbei um eine rechteckige projizierte Fläche handelt, liegt der Schwerpunkt dieser in der Mitte bei einer Höhe zur Flüssigkeitsoberfläche von 

$h_s = 5m$.

Die Horizontalkraft beträgt demnach:

Methode

$F_H = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 5m \cdot 5m^2 = 245.242,64 N$.

Die Wirkungslinie der Horizontalkraft liegt bei gekrümmten Flächen (wie bei rechteckigen Flächen) im Schwerpunkt der Dreieckslast. Der Schwerpunkt der Dreiecksfläche liegt bei $\frac{2}{3}$ der Höhe, also bei $6,67 m$.

Horizontalkraft
Bestimmung der Vertikalkraft

Die Vertikalkraft bestimmt sich durch die Gewichtskraft des Wasservolumens oberhalb der gekrümmten Wand:

$F_V = \rho \; g \ V$.

Die Fläche einer Ellipse berechnet sich durch 

$A = \pi \cdot a \cdot h$.

Da es sich hier um eine Viertelellipse handelt, muss das Ganze noch durch vier dividiert werden. Das Volumen bestimmt sich dann durch Multiplikation mit der Breite $b = 0,5m$:

$V = \frac{\pi \cdot 5m \cdot 10m}{4} \cdot 0,5m = 19,63m^3$.

Die Vertikalkraft beträgt:

Methode

$F_V = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,80 \frac{m}{s^2} \cdot 19,63 m^3 = 192.564,52 N$.

Die Wirkungslinie der Vertikalkraft liegt im Schwerpunkt dieses Wasservolumens. Es wird hier der Abstand von der gestrichelten Linie zum Schwerpunkt in $x$-Richtung gesucht. Eine Viertelellipse hat ihren Schwerpunkt (siehe Tabellenwerke) in $x$-Richtung bei

$x_s = \frac{4a}{3\pi} = \frac{4 \cdot 5m}{3\pi} = 2,12 m$.

Vertikalkraft
Bestimmung der Resultierenden

Zuletzt muss noch die Resultierende bestimmt werden. Diese ergibt sich aus

Methode

$F_R = \sqrt{F_H^2 + F_V^2} = \sqrt{(245.242,64 N)^2 + (192.564,52 N)^2} = 311.809,31 N$.


Die Wirkungslinie der Resultierenden berechnet sich durch:

$\tan(\alpha) = \frac{F_V}{F_H}$.

Methode

$\alpha = \tan^{-1} \frac{192.564,52 N}{245.242,64 N} = 38,14 °$.

Resultierende, Druckmittelpunkt

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Vertikalkraft $F_V$, die Horizontalkraft $F_H$ und die Resultierende $F_R$ alle durch den Druckmittelpunkt $D$ verlaufen. Bei gekrümmten Flächen gilt also dasselbe wie bei rechteckigen Flächen. Deswegen muss hier der Druckmittelpunkt nicht extra separat ermittelt werden, da sich dieser aus den Wirkungslinien der Vertikal- und Horizontalkraft ergibt.