Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt erfolgt nun die Bestimmung der Horizontalkräfte auf Behälterwände. Auf die vertikalen Seitenwände des Behälters wirken horizontale Kräfte. Handelt es sich um einen dreidimensionalen Körper mit $z$ als Höhenachse, so wirken die Horizontalkräfte in $x$- und in $y$-Richtung. Berechnet werden können die horizontalen Kräfte durch:
Methode
$F_H = F_x = p_s \; A_{proj}$ Horizontalkraft
mit
$p_s = \rho \; g \; h_s$
$h_s = \text{senkrechter Abstand vom Schwerpunkt der betrachteten}$
$\text{Fläche zur Flüssigkeitsoberfläche}$
Die Horizontalkraft ist das Produkt aus dem Druck im Flächenschwerpunkt $p_s$ (der projizierten Fläche) und der projizierten vertikalen Fläche $A_{proj}$ des betrachteten Körpers. Im Gegensatz zur Vertikalkraft, welche für nicht rechteckige Flächen ebenfalls mittels projizierter horizontaler Fläche bestimmt wird, muss bei der Horizontalkraft die Fläche vertikal projiziert werden.
Es soll ein Beispiel aufgeführt werden, um zu zeigen, wie man die Horizontalkraft auf der Wand von Behältern bestimmt.
Beispiel: Horizontalkräfte
Beispiel
Gegeben sei das obige Wasserbecken, in welchem sich eine Wand (rot) befindet. Es sollen die Vertikal- und Horizontalkräfte bestimmt werden, welche auf diese Wand wirken. Die Wand hat eine Breite von einem Meter $y = b = 1m$.
Bestimmung der Vertikalkraft
Zunächst werden die Vertikalkräfte bestimmt. Aus dem vorherigen Abschnitt gilt:
$F_V = F_z = \rho_{Wasser} \cdot g \cdot V_{Wand}$.
$F_V = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3m \cdot 5m \cdot 1m$.
Methode
$F_V = 147.145,59 N = 147,15 kN$.
Die Vertikalkomponente ist gleich der Gewichtskraft der durch die Wand verdrängten Wassermenge.
Die Vertikalkraft ist nach oben gerichtet, da die Vertikalkraft an der Unterseite größer ist als die Vertikalkraft an der Oberseite der Wand. Das führt dazu, dass am Ende eine nach oben gerichtete Vertikalkraft resultiert (siehe Abschnitt Vertikalkraft).
Bestimmung der Horizontalkraft
Die Horizontalkraft bestimmt sich durch
$F_H = F_x = \rho_{Fluid} \; g \; h_s \; A_{proj}$.
Die Frage ist nun was genau $A_{proj}$ ist? Die projizierte Fläche $A_{proj}$ resultiert daraus, dass der Druck mit zunehmender Tiefe linear zunimmt. Wenn der Druck nun also in horizontale Richtung wirkt und mit zunehmender Tiefe linear zunimmt, dann ergibt sich eine Dreieckslast. Die Dreieckslast bringt zum Ausdruck, dass im Mittel die Hälfte des Maximaldrucks über die gesamte projizierte Fläche auf die Wand wirkt.
Es gibt nun zwei Dinge zu beachten:
Die Höhe $h_s$ ist der senkrechte Abstand von der Wasseroberfläche zum Schwerpunkt der projizierten Fläche. Hierbei handelt es sich um eine rechteckige Wand, damit liegt der Schwerpunkt in der Mitte. Den Betrag der Horizontalkraft berechnet man also mit dem Druck in Abhängigkeit vom Schwerpunkt der projizierten Fläche.
Die Wirkungslinie der Horizontalkraft $F_H$ befindet sich hingegen bei rechteckigen Flächen im Schwerpunkt der Dreieckslast. Der Schwerpunkt eines Dreiecks befindet sich bei zwei Drittel der Höhe:
In der obigen Grafik ist die ganze Problematik veranschaulicht. Die projizierte Fläche ist gegeben, die Dreieckslast und die Wirkungslinie der Kraft $F_H$, welche im Schwerpunkt der Dreieckslast liegt ($= \frac{2}{3} 12 m = 8m$) und (WICHTIG!) nicht im Schwerpunkt der betrachteten Fläche. Die Dreieckslast sagt aus, dass im Mittel die Hälfte des Maximaldrucks über die projizierte Wand auf die Fläche wirkt. Deswegen wird der senkrechte Abstand $h_s$ vom Schwerpunkt der projizierten Fläche hin zur Flüssigkeitsoberfläche herangezogen.
$F_H = p_s \cdot A_{proj}$
mit
$p_s = \rho \; g \ h_s$ |Einsetzen
Methode
$F_H = \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$
Für die Höhe ergibt sich hier $h_s = 6m$. Das funktioniert, indem man sich die projizierte Fläche dreidimensional denkt (Höhe 12 m und Breite 1 m) und dann den senkrechten Abstand vom Schwerpunkt der projizierten Fläche zur Flüssigkeitsoberfläche $h_s = \frac{12 m}{2} = 6 m$ heranzieht. Die projizierte Fläche ist eine rechteckige Fläche, der Schwerpunkt liegt also mittig. Die projizierte Fläche hat also eine Höhe von $z = h = 12m$ und eine Breite von $y = b = 1m$.
Merke
Um den Flächeninhalt der projizierten Fläche zu bestimmen und hier auch die richtigen Werte zu verwenden, kann man sich folgendes merken: Wenn man die Horizontalkraft in $x$-Richtung bestimmt, dann ergibt sich die projizierte Fläche (m²) aus den Abmessungen in $y$-Richtung und in $z$-Richtung.
$A_{proj} = h \cdot b$
$F_H = \rho \; g \; h_s \cdot h \; b$.
$F_H = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 6 m \cdot 12 m \cdot 1 m $.
Methode
$F_H = 706.298,81 N = 706,3 kN$.
Wichtig ist, dass die projizierte Fläche die betrachtete Wand vertikal widerspiegelt. Auf diese projizierte Fläche wirkt der horizontale Druck, welcher eine Dreieckslast darstellt. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft liegt im Schwerpunkt der Dreieckslast.
Ein weiteres ausführliches Beispiel zur Berechnung der Horizontalkraft findet sich im Abschnitt Anwendungsbeispiel: Druckkräfte auf Behälterwände.
Merke
Es handelt sich hierbei um ebene rechteckige Wände die betrachtet wurden. Bei rechteckigen Wänden liegt die Wirkungslinie der Horizontalkraft immer im Schwerpunkt der Dreieckslast. Betrachtet man hingegen nicht rechteckige Flächen, so befindet sich die Wirkungslinie nicht im Schwerpunkt der Dreieckslast, sondern im Druckmittelpunkt. Deswegen wird innerhalb dieses Kapitels auch auf nicht rechteckige Fläche eingegangen. Außerdem werden geneigte und gekrümmte Flächen betrachtet, da hier die projizierte Fläche ermittelt wird, indem die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus angewendet werden.
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