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Strömungslehre - Beispiel: Hydrostatischer Druck

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Strömungslehre

Beispiel: Hydrostatischer Druck

Hydrostatischer Druck Beispiel

Beispiel

Gegeben sei die obige mit inkompressiblen Wasser gefüllte Flüssigkeitssäule mit konstantem Querschnitt. Wie groß ist die Kraft $F_1$ und die Kraft $F_2$? Wie groß ist die Querschnittsfläche $A$? Es soll außerdem der hydrostatische Druck für die Tiefe 1 und für die Tiefe 2 bestimmt werden. Welche Erkenntnisse lassen sich aus den Ergebnissen gewinnen?

Wie groß sind die Kräfte?

Zunächst einmal werden die Kräfte $F_1$ und $F_2$ bestimmt:

$F_1 = m_1 \cdot g = 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 98,1 N$.

$F_2 = (m_1 + m_2) \cdot g = 20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 196,2 N$.

Für die Kraft $F_2$ muss die gesamte Masse $m_1 + m_2$ berücksichtigt werden, da die gesamte Masse von 20 kg auf den Querschnitt (Tiefe 2) wirkt. Für die Kraft $F_1$ hingegen muss nur die Masse $m_1$ berücksichtigt werden, da nur diese Masse auf den Querschnitt in Tiefe 1 drückt.

Wie groß ist die Querschnittsfläche?

$V = A \cdot h \rightarrow A = \frac{V}{h}$

mit

$V = \frac{m}{\rho}$.

Da der Querschnitt konstant ist, kann man bei der Berechnung den Querschnitt in Tiefe 1 bestimmen:

$V_1 = \frac{m_1}{\rho} = \frac{10 kg}{999,97 \frac{kg}{m^3}} = 0,01 m^3$

$A = \frac{V_1}{h_1} = \frac{0,01m^3}{10 m} = 0,001 m^2$.

Alternativ hätte man auch den Querschnitt in Tiefe 2 bestimmen können:

$V_2 = \frac{m_1 + m_2}{\rho} = \frac{20 kg}{999,97 \frac{kg}{m^3}} = 0,02 m^3$

$A = \frac{V_2}{h_2} = \frac{0,02m^3}{20 m} = 0,001 m^2$.

Die Querschnitte sind konstant, die Volumina hingegen nicht. Grund dafür ist, dass für die Tiefe 1 eine Masse von 10kg und für die Tiefe 2 eine doppelte Masse von 20kg berücksichtigt werden muss. Am Ende ergibt sich ein konstanter Querschnitt, da die Höhe für Tiefe 2 doppelt so groß ist wie für Tiefe 1. Grund für die doppelte Höhe bei doppelter Masse ist eben genau dieser konstante Querschnitt. 

Wie groß ist der hydrostatische Druck?

Der hydrostatische Druck für Tiefe 1 berechnet sich durch:

$p(h) = \rho \; g \; h_1 = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 10 m = 98.097,1 Pa$.

Der hydrostatische Druck für die Tiefe 2 berechnet sich durch:

$p(h) = \rho \; g \; h_2 = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 20 m = 196.194,1 Pa$.

Welche Erkenntnisse lassen sich gewinnen?

Der Druck ist umso höher, je größer der Höhenunterschied der Flüssigkeitssäule ist. In gleicher Tiefe herrscht überall der gleiche Druck.