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Strömungslehre - Beispiel: U-Rohr-Manometer

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Strömungslehre

Beispiel: U-Rohr-Manometer

U-Rohr-Manometer mit Quecksilber
U-Rohr-Manometer mit Quecksilber

Beispiel

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Gegeben sei das obige U-Rohr-Manometer. Innerhalb der Flüssigkeitssäule befindet sich Quecksilber (ruhende Flüssigkeit). Der Behälter sei mit einem beliebigen Gas gefüllt. Bestimme den hydrostatischen Druck, welchen das Quecksilber ausübt sowie den Absolutdruck des Gases innerhalb des Behälters.

Es gilt:

$\rho_{Hg} = 13.550 \frac{kg}{m^3}$

$p_{amb} = 98 kPa$.

Bei einem U-Rohr berechnet sich der hydrostatische Druck $p(h)$:

$p(h) = \rho \; h \; g$.

Der Absolutdruck bestimmt sich durch Addition bzw. Subtraktion des hydrostatischen Drucks von dem Umgebungsdruck $p_b$ (bereits aus Thermodynamik bekannt):

$p = p_b \pm \rho \; h \; g$.

Addiert wird der hydrostatische Druck, wenn der Umgebungsdruck geringer ist als der Absolutdruck. Ansonsten wird er subtrahiert. Wie kann man bei einem U-Rohr-Manometer erkennen, ob der Umgebungsdruck größer oder kleiner als der Absolutdruck ist?

In der ersten Grafik ist der Flüssigkeitsstand des Quecksilbers (blau) in der linken Meniske höher als in der rechten Meniske. Das bedeutet, dass der Umgebungsdruck $p_b$ größer ist und damit das Quecksilber in Richtung des Behälters drückt. Der Absolutdruck $p$ des Gases im Behälter ist also geringer. In diesem Fall wird der Absolutdruck folgendermaßen berechnet:

$p = p_b - p(h)$.

Genau das Gegenteil gilt für die zweite Flüssigkeitssäule. Hier ist der Absolutdruck $p$ des Gases innerhalb des Behälters größer als der Umgebungsdruck $p_b$. Das Quecksilber wird also vom Behälter weggedrückt. Der Absolutdruck bestimmt sich dann:

$p = p_b + p(h)$.

Es kann nun zur Berechnung des hydrostatischen Drucks $p(h)$ und des Absolutdrucks $p$ übergegangen werden:

$p(h) = \rho \; g \; h$

$p(h) = 13.550 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 0,15 m = 19.938,83 \frac{kg}{m \; s^2} = 19.938,83 Pa$.

Der hydrostatische Druck, welchen das Quecksilber aufgrund der Gravitation ausübt, beträgt 19.938,83 Pa.

Da der Flüssigkeitsstand in der rechten Meniske höher ist als in der linken, ist der Umgebungsdruck $p_b$ größer als der Absolutdruck im Behälter. Es gilt also die Formel für den Absolutdruck:

$p = p_b - p(h) = 98.000 Pa - 19.938,83 Pa = 78.061,17 Pa$.

Der Absolutdruck ist geringer als der Atmosphärendruck (Umgebungsdruck). Das sieht man auch an der Flüssigkeitssäule. Der Absolutdruck des beliebigen Gases beträgt 78.061,17 Pa.

U-Rohr-Manometer
U-Rohr-Manometer