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Strömungslehre - Stützkraftkonzept

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Strömungslehre

Stützkraftkonzept

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die zeitliche Änderung des Impulses bestimmt. Hierzu wird das Stützkraftprinzip herangezogen, weil dieses die Berechnung übersichtlicher gestaltet und damit vereinfacht. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, ist die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe aller von außen wirkenden Kräfte.

Methode

$\frac{dI}{dt} = \dot{I_2} - \dot{I_1} = \dot{m} (w_2 - w_1) = \sum F$

Dabei ist $\dot{I_2}$ der austretende Impulsstrom und $\dot{I_1}$ der eintretende Impulsstrom. Das bedeutet also, dass die Differenz aus ein- und austretendem Impulsstrom gleich der Summe aller von außen wirkenden Kräfte sein muss.

$\dot{I_2} - \dot{I_1} = \sum F$

Man kann das Ganze auch als Gleichgewicht schreiben, indem man die linke Seite rüber holt und die Gleichung gleich null setzt.

Methode

$\dot{I_1} - \dot{I_2} + \sum F = 0$

Das bedeutet einfach, dass der eintretende Impulsstrom minus den austretenden Implusstrom und plus die Summe aller von außen wirkenden Kräfte gleich null ergeben muss, sich also im Gleichgewicht befinden müssen.

Die Kräfte $\sum F$, die betrachtet werden müssen, sind

  • Druckkräfte $p \cdot A$ an den Einlässen und Auslässen,

  • Gewichtskraft des Fluids $F_G$,

  • Auflagerkräfte $F_A$ aufgrund von Umlenkungen, Verengungen, Austreten und Aufprallen.

Berücksichtigung dieser Kräfte ergibt:

$\dot{I_1} - \dot{I_2} + p_{ein} \cdot A_{ein} - p_{aus} \cdot A_{aus} + F_G + F_A = 0$

Merke

Die Gewichtskraft $F_G$ wird meistens vernachlässigt.


Man führt nun die sogenannte Stützkraft ein mit:

$S = p \cdot A + \dot{I}$.


Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt sich mit

$S_{ein} = p_{ein} \cdot A_{ein} + \dot{I_1}$

$S_{aus} = p_{aus} \cdot A_{aus} + \dot{I_2}$

die Gleichung

Methode

$S_{ein} + S_{aus} + F_G + F_A = 0$    Stützkraftkonzept

mit

$S_{ein} = p_{ein} \cdot A_{ein} + \dot{I_{ein}}$

$S_{aus} = p_{aus} \cdot A_{aus} + \dot{I_{aus}}$

Meistens ist der Impulsstrom aber nicht gegeben, weshalb man schreibt:

Methode

$\dot{I_{ein}} = \dot{m} \cdot w_{ein} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{ein} = \rho \cdot A_{ein} \cdot w_{ein}^2$.

$\dot{I_{aus}} = \dot{m} \cdot w_{aus} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{aus} = \rho \cdot A_{aus} \cdot w_{aus}^2$.

Die Stützkraft $S$ ist damit die Zusammenfassung des Impulsstroms $\dot{I}$ und der Druckenergie $p \; V$. Die Formeln für die obigen Stützkräfte gelten für Stützkräfte, die IN den Kontrollraum zeigen. Die Stützkräfte können verwendet werden, um z.B. die Auflagerkräfte $F_A$ (z.B. bei Umlenkungen, Verengungen etc.) zu berechnen. In manchen Büchern findet man die ganze Berechnung ohne das Stützkraftprinzip, d.h. die Impulsströme und die Druckenergie werden separat bestimmt. Das hier vorgestellte Prinzip bringt aber den Vorteil der übersichtlicheren Berechnung mit sich.

Um nun aber die Auflagerkraft $F_A$ berechnen zu können, benötigt man die vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung (siehe: Kurs Statik). Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie man diese Gleichgewichtsbedingungen aufstellt und die fehlenden Kräfte berechnen kann.