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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man bei einer gegebenen Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort die Geschwindigkeit und den Ort in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt.

Ist die Beschleunigung $a$ als Funktion des Ortes gegeben, so ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = a(x)$.

Die Beschleunigung wird normalerweise bestimmt durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = \frac{dv}{dt}$

Erweitert man das Ganze um $dx$ so ergibt sich:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = \frac{dv}{dt} \frac{dx}{dx}$

Das kann man auch schreiben zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt}$

Dabei ist $\frac{dx}{dt} = v$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = \frac{dv}{dx} v$

Umstellen ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v \; dv = a \; dx$

Integration ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{v_0}^v v \; dv = \int_{x_0}^x a \; dx $

$[\frac{1}{2} v^2]_{v_0}^v =  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $

$\frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} v_0^2 =  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $

$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $

Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Ort kann dann durch Umstellen der Formel nach $v$ bestimmt werden. Es gilt dann folgender Zusammenhang:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \frac{dx}{dt}$

Da die Geschwindigkeit abhängig vom Ort ist, wird nach $dt$ aufgelöst:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $dt = \frac{dx}{v}$

Es kann nun die Zeit in Abhängigkeit vom Ort durch Integration bestimmt werden, indem die Geschwindigkeit $v$, welche oben berechnet worden ist, eingesetzt wird. Da die Geschwindigkeit abhängig vom Ort ist, kann diese nun nach $x$ integriert werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\int_{t_0}^t dt =\int_{x_0}^x \frac{1}{v} \; dx$

Das ganze Vorgehen soll anhand der nachfolgenden Beispiele im folgenden Kurstext aufgezeigt werden.