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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Funktion des Ortes

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Funktion des Ortes

Beispiel: Beschleunigung als Funktion des Ortes

Beispiel

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Gegeben sei die Beschleunigung $a = -16 x$. Zu der Zeit $t_0 = 0$ sind $x(0) = x_0$ und $v(0) = v_0 = 0$.

Aus der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass die Beschleunigung $a$ abhängig vom Ort $x$ ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = -16x$.

Um die Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit des Ortes zu bestimmen, kann folgende Formel angewandt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $

Einsetzen von $a = -16x$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x -16x\; dx $

Integration:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  [ -\frac{16}{2} x^2]_{x_0}^x $

$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2  - \frac{16}{2} x^2 + \frac{16}{2} x_0^2$

Es gilt $v_0 = 0$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{1}{2} v^2 = 8 (x_0^2 - x^2)$

Auflösen nach $v$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \sqrt{16 (x_0^2 - x^2)}$.

Um nun daraus die Zeit $t$ in Abhängigkeit des Ortes zu bestimmen, wird die folgende Gleichung herangezogen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{t_0}^t dt =\int_{x_0}^x \frac{1}{v} \; dx$

Einsetzen von $v$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{t_0}^t dt =\int_{x_0}^x  \frac{1}{\sqrt{16 (x_0^2 - x^2)}} \; dx$

$\int_{t_0}^t dt =\int_{x_0}^x  \frac{1}{4 \sqrt{x_0^2 - x^2}} \; dx$

Generell gilt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin (\frac{x}{x_0})$

Für dieses Beispiel gilt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $t - t_0 = \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0})]_{x_0}^x$

Es gilt $t_0 = 0$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $t = \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - \arcsin (\frac{x_0}{x_0})]$

$t= \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - \arcsin (1)]$

$t = \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - 90°]$

$t = \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - \frac{\pi}{2}]$

$t = \frac{1}{4} \arccos (\frac{x}{x_0})$

Um daraus den Ort $x$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ bestimmen zu können, muss einfach die Umkehrfunktion $\cos$ angewandt werden. Zunächst Umstellen der Gleichung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\arccos (\frac{x}{x_0}) = 4t$

Anwendung der Umkehrfunktion:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\frac{x}{x_0} = \cos (4t)$

$x = \cos (4t) \cdot x_0$

Mit der obigen Gleichung ist die Weg-Zeit-Abhängigkeit gegeben. Aus dieser kann nun die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit und die Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit bestimmt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \frac{dx}{dt} = -4 x_0 \sin (4t)$.

$a = \frac{dv}{dt} = -16 x_0 \cos (4t)$