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Beispiel: Beschleunigung als Funktion des Ortes
Beispiel
Gegeben sei die Beschleunigung $a = -16 x$. Zu der Zeit $t_0 = 0$ sind $x(0) = x_0$ und $v(0) = v_0 = 0$.
Aus der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass die Beschleunigung $a$ abhängig vom Ort $x$ ist:
Methode
Um die Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit des Ortes zu bestimmen, kann folgende Formel angewandt werden:
Methode
Einsetzen von $a = -16x$:
Methode
Integration:
Methode
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 - \frac{16}{2} x^2 + \frac{16}{2} x_0^2$
Es gilt $v_0 = 0$:
Methode
Auflösen nach $v$:
Methode
Um nun daraus die Zeit $t$ in Abhängigkeit des Ortes zu bestimmen, wird die folgende Gleichung herangezogen:
Methode
Einsetzen von $v$:
Methode
$\int_{t_0}^t dt =\int_{x_0}^x \frac{1}{4 \sqrt{x_0^2 - x^2}} \; dx$
Generell gilt:
Methode
Für dieses Beispiel gilt:
Methode
Es gilt $t_0 = 0$:
Methode
$t= \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - \arcsin (1)]$
$t = \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - 90°]$
$t = \frac{1}{4} [\arcsin (\frac{x}{x_0}) - \frac{\pi}{2}]$
$t = \frac{1}{4} \arccos (\frac{x}{x_0})$
Um daraus den Ort $x$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ bestimmen zu können, muss einfach die Umkehrfunktion $\cos$ angewandt werden. Zunächst Umstellen der Gleichung:
Methode
Anwendung der Umkehrfunktion:
Methode
$x = \cos (4t) \cdot x_0$
Mit der obigen Gleichung ist die Weg-Zeit-Abhängigkeit gegeben. Aus dieser kann nun die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit und die Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit bestimmt werden:
Methode
$a = \frac{dv}{dt} = -16 x_0 \cos (4t)$
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