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Technische Mechanik 3: Dynamik - Leistung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Leistung

Die Leistung $P$ ist die Ableitung der Arbeit $W$ nach der Zeit $t$. Die Leistung ist also die innerhalb eines Zeitraumes verrichtete Arbeit bezogen auf diesen Zeitraum.

Es wird zunächst wieder die Arbeit aufgeführt:

$W = \int  F_e \; dr$ 


mit $v = \frac{dr}{dt}$ und aufgelöst nach $dr = v \; dt$ ergibt sich dann:

$W = \int F_e \; v dt$ 

Ableitung der Arbeit $W$ nach der Zeit ergibt ($dt$ fällt dann auf der rechten Seite weg und damit auch das Integral):

Methode

$\frac{dW}{dt}  = P = F_e \; v$                   Leistung

Diese Gleichung stellt die Leistung dar. Wie bei der Arbeit $W$ gilt auch für die Leistung $P = dW$, dass die Zwangskräfte $F_z$ hier nicht berücksichtigt werden dürfen, da diese senkrecht zur Geschwindigkeit $v$ stehen und damit keine Leistung vorliegt. Die Geschwindigkeit $v$ liegt immer tangential an der Bahnkurve. Zwangskräfte stehen immer senkrecht zur Bahnkurve und damit auch senkrecht zur Geschwindigkeit $v$. Es dürfen hier also nur die eingeprägten Kräfte berücksichtigt werden. Alle Kräfte die senkrecht zur Bewegungsrichtung stehen dürfen nicht mit einbezogen werden.


Die Einheit der Leistung ist Watt ($W$). Dabei gilt:

Methode

$1 W = 1 \frac{Nm}{s}$                   Einheit Leistung

Wirkungsgrad

Die einer Maschine zugeführte Arbeit ist im allgemeinen größer, als die von der Maschine verrichtete Arbeit. Grund dafür sind Reibungsverluste die in jeder Maschine auftreten. Diese Reibungsverluste führen dazu, dass die der Maschine zugeführte Arbeit nicht vollständig genutzt werden kann, weil ein Teil der zugeführten Arbeit verloren geht. Die Reibung führt nämlich dazu, dass die zugeführte Arbeit bzw. Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird, welche dann an die Umgebung abgegeben wird und damit nicht weiter genutzt werden kann. Die Nutzarbeit ist demnach immer kleiner als die zugeführte Arbeit. Um zu beurteilen, wieviel der zugeführten Arbeit tatsächlich genutzt werden kann und nicht aufgrund Reibung verloren geht, zieht man den Wirkungsgrad $\eta$ heran. Der Wirkungsgrad gibt an, wieviel der aufgewendeten Arbeit $W_A$ bzw. Leistung $P_A$ tatsächlich in Nutzarbeit $W_N$ bzw. Nutzleistung $P_N$ umgewandelt wird. 

Methode

$\eta = \frac{W_N}{W_A}$             Wirkungsgrad: Arbeit

bzw.

Methode

$\eta = \frac{P_N}{P_A}$                 Wirkungsgrad: Leistung

Für den Wirkungsgrad gilt immer $\eta < 1$. Das bedeutet, dass die aufgewendete Arbeit (bzw. Leistung) niemals vollständig in Nutzarbeit $W_N$ (bzw. Nutzleistung $P_N$) umgewandelt werden kann. Es geht also immer Energie aufgrund von Reibung verloren.

Anwendungsbeispiel: Leistung

Beispiel Leistung: Kiste auf schiefer Ebene

Beispiel

Gegeben sei das Beispiel aus dem vorherigen Abschnitt. Die obige Kiste ($m = 10 kg$) befindet sich auf der rauen schiefen Ebene. Die Kiste wird bei $x_0 = 0$ losgelassen, mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 0$. Es gilt: $x_1 = 5m$, $\mu = 0,3$ und $\alpha = 30°$.

Wie groß ist die Leistung $P$ der Kräfte von $x_0$ bis $x_1$?

Es wird zunächst wieder das Freikörperbild gezeichnet:

Beispiel Leistung: Freikörperbild

Die Leistung wird bestimmt durch:

$P = F_e \cdot v$


Die eingeprägte Kräfte sind diejenigen die nicht senkrecht auf der Bahn (hier: schiefe Ebene) stehen. Die eingeprägten Kräfte sind die Reibungskraft $ R = \mu N$ und die Gewichtskraft $G_x$ in $x$-Richtung:

Methode

$P = (-\mu N + G_x) \cdot v$


Die Geschwindigkeit $v$ lässt sich bestimmen durch den Arbeitssatz:

$W = E_{kin} - E_{kin}$

$\int F_e \; dx = \frac{1}{2} mv_1^2 - \frac{1}{2} mv_0^2$

$\int_{x_0}^{x_1} (-\mu N + G_x) \; dx = \frac{1}{2} mv_1^2 - \frac{1}{2} mv_0^2$

Methode

$-\mu N (x_1 - x_0) + G_x (x_1 - x_0) = \frac{1}{2} mv_1^2 - \frac{1}{2} mv_0^2$


Dabei ist $G_x = G \sin(30°) = mg \sin(30°)$. Die Normalkraft $N$ lässt sich bestimmen durch das Newtonsche Gesetz in $y$-Richtung:

$ F_y = ma_y$


Da die Bewegung nur in $x$-Richtung stattfindet, ist $a_y = 0$:

$ F_y = 0$

$N - G_y = 0$

$N = G \cos(30) = 0$

$N = G \cos(30°) = mg \; \cos(30°)$

Einsetzen in den Arbeitssatz:

$-\mu \; mg \; \cos(30°) (x_1 - x_0) + mg \; \sin(30°)) (x_1 - x_0) = \frac{1}{2} mv_1^2 - \frac{1}{2} mv_0^2$

Einsetzen aller Werte:

$-0,3 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos(30°) 5m + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin(30°) 5m = \frac{1}{2} 10 kg \cdot v_1^2 $

Auflösen nach $v_1$

$v_1 = \sqrt{2 \cdot [-0,3 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos(30°) 5 m + 9,81 \frac{m}{s^2} \sin(30°) 5m]}$

$v_1 = 4,85 \frac{m}{s^2}$

Es kann nun die Leistung für den Weg $x_0$ bis $x_1$ bestimmt werden:

$P = (-\mu N + G_x) \cdot v$

$P = (-0,3 \cdot mg \; \cos(30°) + mg \; \sin(30°)) \cdot v_1$

$P = (-0,3 \cdot 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cos(30°) + 10 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \sin(30°) ) \cdot 4,85 \frac{m}{s}$

Methode

$P = 114,28 \frac{Nm}{s} = 114,28 W$