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Technische Mechanik 3: Dynamik - Potential, Energiesatz

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Potential, Energiesatz

Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass der Arbeitssatz zwischen zwei Bahnpunkten $0$ und $1$ geschrieben werden kann als:

Methode

$W = E_{kin1} - E_{kin0}$.

mit

$W = \int F^e \; dr$

Besitzen die eingeprägten Kräfte $F^e$ ein Potential, so ist die von ihnen gleistete Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg $dr$. Die geleistete Arbeit hängt dann nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Diese Kräfte nennt man konservative Kräfte.

Besitzen die eingeprägten Kräfte $ F^{e}$ ein Potential, so kann man den Arbeitssatz zwischen zwei Bahnpunkten $0$ und $1$ auch schreiben als:

Methode

$W = -(E_{pot1} - E_{pot0}) = E_{pot0} - E_{pot1}$


Zum Nachweis, ob es sich bei den eingeprägten Kräften $F^{e}$ um ein Potential handelt, gilt $rot F^{e} = 0$. Das bedeutet also, die Rotation der eingeprägten Kräfte ist gleich Null. Für die $x,y,z$-Ebene wird die Rotation folgendermaßen geschrieben:

$rot F^{e} = \begin{vmatrix} e_x & e_y & e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F^e_{x} & F^e_y & F^e_z \end{vmatrix}  = 0$

Auflösen ergibt (Determinante berechnen):

$e_x \cdot \frac{\partial}{\partial y} \cdot F^e_z + e_y \cdot \frac{\partial}{\partial z} \cdot F^e_x  + e_z \cdot \frac{\partial}{\partial x} \cdot F^e_y - e_x \cdot \frac{\partial}{\partial z} \cdot F^e_y - e_y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \cdot F^e_z - e_z \cdot \frac{\partial}{\partial y} \cdot F^e_x = 0$


Daraus ergibt sich als Zusammenfassung:

Methode

$\frac{\partial F^{e}_z}{\partial y} = \frac{\partial F^e_y}{\partial z}$        $\frac{\partial F^{e}_x}{\partial z} = \frac{\partial F^e_z}{\partial x}$            $\frac{\partial F^e_y}{\partial x} = \frac{\partial F^e_x}{\partial y}$

Ist die obige Bedingung erfüllt, so handelt es sich um eingeprägte Kräfte die ein Potential besitzen.


Merke

Kräfte mit Potentialen sind die Gewichtskraft und die Federkraft.

Die Gewichtskraft hat das Potential $E_{pot} = G \cdot z$. Dabei ist $z$ der Abstand nach oben von der Erdoberfläche bzw. einem festgelegten Bezugsniveau.

Die Federkraft hat das Potential $E_{pot} = \frac{cx^2}{2}$. Mit $c$ als Federkonstante und $x$ als Längenänderung der ungespannten Feder. Alternativ: Potential des Drehfedermoments: $E_{pot} = \frac{c_T \varphi^2}{2}$ mit $c_T$ als Federkonstante und $\varphi$ als Verdrehwinkel der ungespannten Feder.

Energiesatz

Im vorherigen Abschnitt wurde der Arbeitssatz geschrieben als:

$W = E_{kin1} - E_{kin0}$

Besitzen die eingeprägten Kräfte ein Potential, so ergibt sich der Arbeitssatz zu:

$W = E_{pot0} - E_{pot1}$

Setzt man nun beide Formel gleich, so erhält man:

$ E_{kin1} - E_{kin0} =  E_{pot0} - E_{pot1}$

Durch Umformung erhält man den Energiesatz:

Methode

$ E_{pot0} + E_{kin0} =  E_{pot1} + E_{kin1}$        Energiesatz


Der Energiesatz besagt, dass die Summe aus der potentiellen und kinetischen Energie am Punkt $0$ gleich der Summe aus potentieller und kinetischer Energie am Punkt $1$ entspricht. Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist also konstant:

$ E_{pot} + E_{kin} = const.$

Merke

Der Energiesatz gilt nur dann, wenn die eingeprägten Kräfte $F^e$ ein Potential besitzen!

Anwendungsbeispiel: Energiesatz

Beispiel Energiesatz: Federkraft, Gewichtskraft

Beispiel

Gegeben sei der obige Stein $m = 15 kg$, welcher mit dem Abstand $h = 8m$ über der ungespannten Feder befindet. Der Stein wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 \frac{m}{s}$ vertikal auf die Feder geworfen. Die Federkonstante sei $c = 1 \frac{N}{cm}$. Wie groß ist $x_{max}$, also die maximale Zusammendrückung der Feder?

Welche Kräfte existieren und besitzen diese ein Potential?

In der Lage $0$ wirkt auf den Stein die Gewichtskraft $G = mg$. Die Gewichtskraft (wie bereits oben aufgezeigt) besitzt ein Potential: $E_{pot} = Gz$. Dabei ist $z$ der Abstand von dem betrachteten Körper hin zur Erdoberfläche oder einem Bezugsniveau. In diesem Fall ist das Bezugsniveau für diese Ausgangslage $0$ das Ende der entspannten Feder (grüne Ablage). Damit $z = h$:

Methode

$E_{pot0} = G \cdot h = mgh$

Es ist aber zusätzlich auch kinetische Energie vorhanden, da die Anfangsgeschwindigkeit im Punkt $0$ nicht Null ist, sondern $20 \frac{m}{s}$. Damit befindet sich der Stein in Bewegung und damit existiert auch kinetische Energie:

Methode

$E_{kin0} = \frac{mv_0^2}{2}$.


Im Punkt $1$ (also wenn der Stein auf die Feder getroffen ist und sich die Feder bis zu ihrem Maximum zusammendrückt) gilt für die potentielle Energie der Gewichtskraft:

$E_{pot1} = -G x_{max} = -mgx_{max}$

Das Minuszeichen resultiert daraus, dass nun der Abstand zum Bezugsniveau negativ ist. Im Punkt $0$ wurde der Abstand zum Bezugsniveau mit der Richtung $h$ nach unten positiv gewählt. Erreicht der Stein dann die Feder (grüne Ablage), so ist der Abstand zum Bezugsniveau null ($h = 0$) und damit auch die potentielle Energie. Fällt der Stein dann weiter unterhalb des Bezugsniveaus, so muss der Abstand nun negativ berücksichtigt werden.

Zusätzlich zu der potentiellen Energie der Gewichtskraft, muss nun auch die potentiellen Energie der Federkraft berücksichtigt werden. Der Stein trifft auf die Feder auf, demnach wirkt noch die Federkraft auf diesen. Die potentielle Energie der Federkraft (siehe Text) ergibt sich zu:

$E_{pot1} = \frac{cx_{max}^2}{2}$


Zusammen ergibt sich also die potentielle Energie zu:

Methode

$E_{pot1} = -mgx_{max} + \frac{cx_{max}^2}{2}$


Die kinetische Energie im Punkt $1$, also bei der maximalen Zusammendrückung ist null, da der Stein hier zur Ruhe kommt:

Methode

$E_{kin1} = 0$


Es kann nun der Energiessatz angewandt werden:

$ E_{pot0} + E_{kin0} =  E_{pot1} + E_{kin1}$  

Einsetzen der obigen Gleichungen:

Methode

$mgh +  \frac{mv_0^2}{2} = -mgx_{max} + \frac{cx_{max}^2}{2} - 0$    Energiesatz

Einsetzen der bekannten Werte (Federkonstante muss noch in N/m umgerechnet werden):

$15 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 8m + \frac{15 kg \cdot (20 \frac{m}{s})^2 }{2} = -15 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot x_{max} + \frac{100 \frac{N}{m} \cdot x_{max}^2}{2}$

Zusammenfassen:

$1.177,2 \; Nm + 3.000 \; Nm= -147,15 \; N \cdot x_{max} + 50 \frac{N}{m} \cdot x_{max}^2$

Umformen:

$50 \frac{N}{m} \cdot x_{max}^2 - 147,15 \; N \cdot x_{max} - 4.177,2 \; Nm = 0$

Es kann nun mittels p,q-Formel nach $x_{max}$ aufgelöst werden. Dazu wird die Gleichung noch umgeformt (durch 50):

$x_{max}^2 - 2,943 x_{max} - 83,544 = 0$

Es kann nun die p,q-Formel angewandt werden:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Dabei ist $p = -2,943$ und $q = -83,544$:

$x_{1,2} = -\frac{-2,943}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2,943}{2})^2 + 83,544}$

$x_1 = 10,73 m$

$x_2 = -7,79 m$

Der Wert $x_1 = 10,73m$ ist hier relevant. Das Zusammendrücken der Feder erfolgt in positiver $x$-Richtung. Die Feder erreicht ihre maximale Zusammendrückung bei $x_{max} = 10,73 m$.

Anderes Bezugsniveau, gleiches Ergebnis

Alternativ hätte man von Anfang an das Bezugsniveau bei der maximalen Zusammendrückung $1$ wählen können. Dann wäre die potentielle Energie der Gewichtskraft des Steins wie folgt:

$E_{pot0} = G z = mg (h + x_{max})$

Die kinetische Energie wäre weiterhin:

$E_{kin0} = \frac{mv_0^2}{2}$

Für den Punkt $1$ wäre die potentielle Energie der Gewichtskraft gleich Null:

$E_{pot1} = 0$

Grund dafür ist, dass der Stein sich im Punkt $1$ bereits auf den Bezugsniveau befindet. Es existiert also kein Abstand (kein positiver und kein negativer Abstand) zu diesem Bezugsniveau. Der Abstand ist gleich Null und damit ist auch die potentielle Energie gleich Null.

Die potentielle Energie für die Federkraft ist:

$E_{pot1} = \frac{c x_{max}^2}{2}$

Die kinetische Energie ist hier wieder Null:

$E_{kin1} = 0$.

Der Energiesatz lautet demnach:

$mg (h + x_{max}) + \frac{mv_0^2}{2} = \frac{c x_{max}^2}{2}$

Klammer auflösen ergibt:

$mgh + mg x_{max}) + \frac{mv_0^2}{2} = \frac{c x_{max}^2}{2}$

$mgx_{max}$ auf die rechte Seite bringen:

Methode

$mgh + \frac{mv_0^2}{2} = - mgx_{max} + \frac{c x_{max}^2}{2}$

Der Energiesatz entspricht genau dem obigen. Das weitere Vorgehen ist also analog zu oben.