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Technische Mechanik 3: Dynamik - Newtonsche Gesetze

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Newtonsche Gesetze

In diesem Abschnitt werden die drei Newtonschen Gesetze der Bewegung zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen den auf einen Körper einwirkenden Kräften und der damit verbundenen Bewegungsänderung aufgeführt.

1. Newtonsche Gesetz

Der Begriff Kraft wird durch das 1. Newtosche Gesetz (auch: Trägheitsaxiom) eingeführt:

Merke

Ein Körper verbleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung (kein Auftreten von Beschleunigung), solange dieser nicht durch die Einwirkung von Kräften zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird.

Liegt eine gleichförmige geradlinige Bewegung vor, so ist bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt, dass der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ konstant ist, da keine Beschleunigung vorliegt $a = 0$. Ändert sich der Geschwindigkeitsvektor bei einer Bewegung, so bedeutet dies, dass eine Beschleunigung vorliegt $a \neq 0$. Die Ursache für die Beschleunigung wird nach dem 1. Newtonschen Gesetz als die Einwirkung einer Kraft bezeichnet.

Damit Kräfte miteinander verglichen werden können, wird das 2. Newtonsche Gesetz herangezogen.

2. Newtonsche Gesetz

Das 2. Newtonsche Gesetz besagt: 

Merke

Die auf einen Körper einwirkende Kraft und die dadurch resultierende Beschleunigung sind gleichgerichtet und proportional zueinander.


Formal wurde das Gesetz zuerst 1750 von Leonhard Euler in der folgenden (heute üblichen Form) formuliert:

Methode

$F = m \cdot a$                  Bewegungsgleichung

mit

$F$ = Kraft in N

$m$ =  Masse des Körpers

$a$ = Beschleunigung

Die Beschleunigung $a$ besitzt dieselbe Richtung wie die Kraft $F$. Da die Masse $m$ konstant ist, kann man stattdessen auch für die Beschleunigung $a = \frac{dv}{dt}$ (Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit) schreiben: 

$F = m \frac{dv}{dt}$ bzw. $F = \frac{d(m\bf{}v)}{dt}$

Hierbei ist $mv$ der Impuls des Massenpunktes:

Methode

$p = mv$                         Impuls


Mittels Impuls lässt sich das Ganze dann auch ausdrücken als:

Methode

$F = \frac{dp}{dt}$.

Einschränkungen für das 2. Newtonsche Gesetz: Bei einer Geschwindigkeit des Massenpunktes in Nähe der Lichtgeschwindigkeit (Einstein) oder Massenpunkte weisen atomare Größe auf und bewegen sich in kurzem Abstand zueinander (Schrödinger u.a.). 

Berücksichtigung der Gravitation

Lässt man einen Körper, welcher sich in Ruhe befindet, frei auf den Boden fallen, so beschleunigt dieser in Richtung Erdoberfläche mit der Fallbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$. Alle Körper in Erdnähe erfahren am selben Ort dieselbe Fallbeschleunigung. Diese liegt am "Normalort"(bezogen auf Normalnull, 45. Breitengrad) bei $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$. Es soll im Folgenden immer mit der Normalbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ gerechnet werden. Diese Fallbeschleunigung zeigt, dass die Erde eine Anziehungskraft (Gravitation) ausübt. Es wird nun für die Beschleunigung $a$ die Fallbeschleunigung $g$ eingesetzt:

Methode

$F = m \cdot g$

Da alle Körper am selben Ort die gleiche Fallbeschleunigung (in $\frac{m}{s^2}$ aufweisen, unterscheidet sich die Kraft $F$ lediglich von der trägen Masse $m$ (in kg) der betracheteten Körper. Die Einheit die hieraus resultiert ist Newton (N). 

Merke

$1 N = \frac{kg \cdot m}{s^2}$

Beispiel

Ein Körper mit der Masse von 1 kg besitzt $F = 1 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 9,81 N$. Diese Kraft, gemessen in Newton, wird auch Gewichtskraft genannt. Deswegen wird auch häufig $G = m \cdot g$ verwendet.

Träge und schwere Masse

Die träge Masse $m_t$ ist ein Maß dafür, wie sehr sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt. Die träge Masse wird bei der Berechnung des Newtonschen Grundgesetzes herangezogen:

$F = m_t \cdot a$


Die schwere Masse $m_s$ gibt an, wie schwer oder leicht ein Körper ist. Für die Bestimmung der Gewichtskraft wird die schwere Masse herangezogen:

$G = m_s \cdot g$


Experimentell kann die Äquivalenz der schweren und trägen Masse nachgewiesen werden:

$m_s = m_t = m$

3. Newtonsche Gesetz

Merke

Das Wechselwirkungsgesetz (oder 3. newtonsche Axiom) besagt, dass zu jeder Kraft $F$ immer eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete "Gegenkraft" wirkt. Das bedeutet also, dass jede Aktion (actio) eine gleich große Reaktion (reactio) erzeugt.

Wird vom Körper A eine Kraft auf Körper B ausgeübt, so wird vom Körper B auf Körper A eine gleich große Kraft ausgeübt. Die Richtungen der beiden Kräfte sind allerdings entgegengesetzt. 

Merke

Die drei Newtonschen Gesetze stellen Axiome dar. Das bedeutet, dass die Ergebnisse sich an Erfahrungen orientieren und sich bei der Anwendung auf die reale Welt bewährt haben.