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Technische Mechanik 3: Dynamik - Kinetik des Massenpunktsystems

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Kinetik des Massenpunktsystems

Im vorherigen Kapitel Kinetik des Massenpunktes ist die Bewegung eines einzelnen Massenpunktes betrachtet worden. In diesem Kapitel wird nun die Bewegung von Massenpunktsystemen untersucht. Ein Massenpunktsystem setzt sich aus $n$ Massenpunkten zusammen. Zwischen diesen Massenpunkten können starre aber auch nicht starre Bindungen (= kinematische Bindungen) bestehen.

Kinematische Bindungen

Es liegen kinematische Bindungen vor, wenn die einzelnen Massenpunkte eines Massenpunktssystems durch starre Strukturen miteinander verbunden sind. Zwischen den Koordinaten der einzelnen Massenpunkte bestehen dann feste geometrische Beziehungen, die durch kinematische Bindungsgleichungen beschrieben werden können. Das bedeutet, dass sich die einzelnen Massenpunkte eines Massenpunktsystems nicht unabhängig voneinander bewegen können, sondern eine voneinander abhängige Bewegung ausführen. Solche kinematischen Bindungen führen zur Reduktion der Freiheitsgrade der einzelnen Massenpunkte und damit des Massenpunktsystems.

Beispiel

Ein Beispiel für eine kinematische Bindung ist ein Massenpunktsystem, welches aus zwei Massenpunkte besteht, die durch ein Seil miteinander verbunden sind.

Kinetik des Massenpunktsystems - kinematische Bindungen

Bewegt sich die $m_1$ um $x_1$ nach unten, so bewegt sich $m_2$ um $x_2 = x_1$ nach oben. Die Masse $m_2$ bewegt sich also mit dem selben Abstand nach oben, wie sich $m_1$ nach unten bewegt. Die kinematische Bindung ist hier demnach:

$x_2 = x_1$

Freiheitsgrade

Die Freiheitsgrade sind durch die Anzahl der einzelnen Massenpunkte des Massenpunktsystems und durch die kinematischen Bindungen vorgegeben. Dabei geben die kinematischen Bindungen an, wieviele unabhängige Koordinaten notwendig sind, um die Lage der einzelnen Massenpunkte des Massenpunksystems eindeutig zu beschreiben.

Insgesamt sind die Freiheitsgrade eines Massenpunktsystems gegeben durch die 3n Koordinaten im Raum abzüglich der Anzahl $r$ der kinematischen Bindungen:

Methode

$f = 3 \; n - r$          Freiheitsgrade Massenpunktsystem im Raum


Für ein Massenpunktsystem in der Ebene gilt:

Methode

$f = 2 \; n - r$     Freiheitsgrade Massenpunktsystem in der Ebene


Für die Bewegung auf einer Geraden gilt:

Methode

$f = 1 \; n - r$    Freiheitsgrade Massenpunktsystem auf einer Geraden

Merke

Die Freiheitsgrade von Massenpunktsystemen können durch die Anzahl der kinematischen Bindungen der einzelnen Massenpunkte untereinander reduziert werden.


Es werden im Folgenden einige Beispiele zu Freiheitsgraden aufgeführt:

Beispiel

Ein Zug $m_1$ an dem ein Wagon $m_2$ hängt, fährt auf einer Schiene. Legt man nun die $x$-Achse auf die Schiene, so ergibt sich die Bewegung auf der $x$-Achse. Man kann also sowohl für den Zug als auch den Wagon die Bewegung durch die $x$-Koordinaten angeben. Der Zug besitzt demnach einen Freiheitsgrad und der Wagon besitzt einen Freiheitsgrad. Es herrscht aber noch eine kinematische Bindung zwischen Zug und Wagon (der Wagon ist am Zug befestigt). Das bedeutet $r = 1$:

$f = 1 \cdot 2 - 1 = 1$.

Insgesamt ergibt sich also für das Massenpunktsystem (Zug + Wagon) genau 1 Freiheitsgrad.

Im Weiteren werden nun $n = 2$ Schiffe $m_1$ und $m_2$ betrachtet, welche auf dem Meer unterwegs sind. Beide Schiffe seien miteinander verbunden. Es handelt sich hierbei um eine Bewegung auf einer Fläche und demnach in der Ebene. Legt man nun ein $x,y$-Koordinatensystem darüber, wobei die $x$-Achse die Breite und die $y$-Achse die Länge angibt, dann kann die Position jedes Schiffs mithilfe der $x$- und $y$-Koordinaten ermittelt werden. Jedes Schiff besitzt demnach zwei Freiheitsgrade. Es herrscht aber noch eine kinematische Bindung der beiden Schiffe zueinander $r = 1$. Insgesamt ergibt sich also:

$f = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Das Massenpunktsystem bestehend aus den zwei Schiffe besitzt 3 Freiheitsgrade.

Als nächstes wird ein Flugzeug betrachtet, an welchem ein Banner befestigt ist. Das Flugzeug und damit der Banner können sich quer, längs als auch in der Höhe frei bewegen. Hierbei handelt sich also um die Bewegung im Raum und es kann ein $x,y,z$-Koordinatensystem herangezogen werden. Die Position des Flugzeugs und des Banners können jeweils mit den drei Koordinaten $x,y,z$ beschrieben werden. Beide besitzen demnach jeweils 3- Freiheitsgrade. Allerdings ist der Banner an dem Flugzeug befestigt, weshalb es eine kinematische Beziehung zwischen diesen beiden gibt:

$f = 3 \cdot 2 - 1 = 5$

Das Massenpunktsystem bestehend aus Flugzeug und Banner besitzt 5 Freiheitsgrade.