Anwendungsbeispiel: Zugstab
Beispiel
Gegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke trägt? Wie groß sind die inneren Spannungen im Stab?
Zunächst erfolgt der Freischnitt:
Bestimmung der Haltekraft
Gesucht wird die Kraft $F_H$, welche der Haken aufbringen muss, um den Balken samt Schneelast zu tragen. Bevor mit der Bestimmung der Kraft $F_H$ begonnen werden kann, muss zunächst die gleichmäßig verteilte Flächenlast (Schneedecke) zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden. Um die gesamte Flächenlast zu einer Einzellast zusammenzufassen, muss $q_0$ mit der Fläche $A$ des Balkens, auf welche diese wirkt, multipliziert werden:
$F_{Schnee} = q_0 \cdot A = 2 \frac{N}{m^2} \cdot 1m \cdot 10m = 20 N$.
Es kann nun die Kraft $F_H$ mittels vertikaler Gleichgewichtsbedingung bestimmt werden:
$\uparrow : F_H - F_{Balken} - F_{Schnee} = 0$.
Aufgelöst nach der Kraft $F_H$ ergibt sich dann:
$F_H = F_{Balken} + F_{Schnee}$.
Einsetzen der Werte:
$F_H = 50 N + 20 N = 70 N$.
Der Haken muss mindestens 70 N an Kraft aufbringen, damit der Balken samt Schneedecke getragen wird.
Bestimmung der Spannungen
Als nächstes soll bestimmt werden, wie die Spannungen innerhalb des Stabes aussehen. Das ist wichtig zu erfahren, damit man die tatsächlichen Spannungen mit der zulässigen Spannung abgleichen kann. Ist die tatsächliche Spannung am Ende größer als die zulässige, so wird der Stab nicht halten und gegebenfalls reißen. Um dies zu vermeiden, werden Spannungen bestimmt. Hierzu wird ein gedachter Schnitt durch den Stab durchgeführt.
In der obigen Grafik erfolgt die Betrachtung des Stabes (der Übersicht halber) aus horizontaler Sicht. Es wird im ersten Schritt ein gedachter Schnitt durchgeführt. Danach wurde der Stab um ein Vielfaches vergrößert dargestellt, um die inneren Spannungen besser veranschaulichen zu können. Die Normalspannung $\sigma$ steht dabei immer senkrecht auf der Schnittfläche. Außerdem treten noch Schubspannungen $\tau$ auf, welche immer parallel zur Schnittfläche liegen.
Es wird nun zunächst die Normalspannung $\sigma$ bestimmt. Die Normalspannung wirkt auf die gesamte Schnittfläche. Da es sich hierbei um einen kreisrunden Stab handelt, welcher den Durchmesser $d = 0,15m$ besitzt, kann man die Normalspannung $\sigma$ bestimmen durch:
$\sigma = \frac{F}{A}$.
Diese Gleichung ergibt sich aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung:
$\rightarrow : \sigma \cdot A - F_{Balken} - F_{Schnee} = 0$
$\sigma \cdot A$ muss berücksichtigt werden, da die Normalkraft $\sigma$ auf die gesamte Schnittfläche $A$ wirkt.
Aufgelöst nach $\sigma$ ergibt sich:
$\sigma = \frac{F_{Balken} + F_{Schnee}}{A}$.
Es muss nun noch die Schnittfläche $A$ bestimmt werden (keisrunder Stab):
$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,075 m)^2 = 0,018 m^2$.
Die Normalspannung ist demnach:
$\sigma = \frac{50 N + 20 N}{0,018 m^2} = 3.888,89 \frac{N}{m^2}$.
Da nun die Normalspannungen $\sigma$ bekannt sind, ist auch klar, was genau der Stab aushalten muss. Es muss nun ein Stab verwendet werden, dessen maximal zulässige Spannung größer ist als die berechnete Spannung. Angenommen die zulässige Spannung betrage $\sigma_{zu} = 370 \frac{N}{mm^2}$.
Die tatsächliche Spannung beträgt: $0,003 888 89 \frac{N}{mm^2}$. (umgerechnet)
Der Stab wird den Balken und die Schneelast ohne Probleme tragen, da die zulässige Spannung weit über der tatsächlichen Spannung liegt.
Merke
Schubspannungen $\tau$ treten bei Zug-und Druckstäben nicht auf.
Das wird auch deutlich aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:
$\uparrow : -\tau \cdot A = 0$
Da keine weiteren vertikalen Kräfte wirken (nicht vergessen das Seil wird aus horizontaler Sicht betrachtet), treten auch keine Schubspannungen auf.
Man hätte auch die Spannungen innerhalb des Balkens berechnen können. Der Balken wird einmal nach unten gezogen (Gewichtskraft und Schneedecke) und oben wirkt eine weitere Kraft, nämlich die des Stabes, welcher den Balken hält. Man könnte dann den Balken gedanklich horizontal freischneiden und die inneren Spannungen bestimmen. Denn auch der Balken kann reißen, wenn die Kräfte an diesem zu groß sind.
