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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Spannungen im Stab

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Spannungen im Stab

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kapitel werden Zugstäbe bzw. Druckstäbe behandelt. Für diese gilt ebenfalls, dass innerhalb des Stabes, welcher auf Druck oder Zug belastet wird, innere Spannungen vorhanden sind. Die Spannungen, die innerhalb des Stabes auftreten, werden durch die an diesem Stab angreifenden äußeren Zug- bzw. Druckkräfte verursacht. Ziel ist es, diese inneren Spannungen zu berechnen. 

Beispiel

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Es müssen beim Bau eines Hauses die inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung und kann abschätzen, wieviel der Balken trägt, bevor er sich verformt oder sogar bricht.


Es wird nun ein Stab betrachtet, welcher auf Zug belastet wird. Führt man durch diesen Stab nun einen gedachten Schnitt durch, so sieht man die inneren Spannungen, welche aufgrund der Zugbelastung vorherrschen. Diese Spannungen setzen sich zusammen aus den Normalspannungen $\sigma$, welche senkrecht auf der Querschnittsfläche $A$ stehen und den Schubspannungen $\tau$, welche parallel zur Querschnittsfläche $A$ liegen. 

Spannungen im Stab
Spannungen im Stab

Normalspannung

Die Normalspannung $\sigma$ lässt sich durch die Normalkraft $N$ zusammenfassen. Diese kann dann berechnet werden durch:

Methode

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$N = \sigma \cdot A$.

Normalspannungen
Normalspannungen

Die Normalkraft ist also die Zusammenfassung der Normalspannungen $\sigma$ zu einer Kraft. Die Normalkraft $N$ steht ebenfalls senkrecht auf der Schnittfläche und kann mittels Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Stab bestimmt werden. Daraus kann dann die Normalspannung $\sigma$ bestimmt werden, indem die Formel umgestellt wird zu:

Methode

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$\sigma = \frac{N}{A}$       Normalspannung

Schubspannung

Die Schubspannung $\tau$ lässt sich durch die Tangentialkraft $T$ zusammenfassen. Diese kann dann berechnet werden durch:

Methode

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$T = \tau \cdot A$   

Schubspannungen
Schubspannungen

Die Tangentialkraft ist die Zusammenfassung der Schubspannungen $\tau$ zu einer Kraft $T$. Die Tangentialkraft $T$ liegt ebenfalls (wie die Schubspannung) parallel zur Querschnittsfläche und kann mittels Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Stab berechnet werden. Man kann dann die Schubspannung $\tau$ bestimmen, indem die Formel umgestellt wird zu:

Methode

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$\tau = \frac{T}{A}$       Schubspannung


Auch hier gilt wieder, dass sich an den Enden des Stabes die Normalspannung nicht gleichmäßig verteilt. Es wird deswegen wieder vom Prinzip von St. Venant ausgegangen:

Merke

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Prinzip von St. Venant

In unmittelbarer Nähe der Lasteinleitungsstellen ergeben sich recht komplizierte Spannungsverteilungen. Mit hinreichend großem Abstand zu diesen Stellen darf man annehmen, dass diese komplizierten Spannungsverteilungen abgeklungen sind und die Spannungen gleichmäßig verteilt sind. Will man genauere Untersuchungen durchführen, so muss man gegebenfalls eine nähere Untersuchung der Lasteinleitungsstellen durchführen.


In den folgenden beiden Abschnitten wird gezeigt, wie die Normalspannungen und Schubspannungen sich ändern, wenn ein Schnitt senkrecht und ein Schnitt nicht-senkrecht (mit Winkel) zur Stabachse durchgeführt wird.