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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab)

Bei statisch bestimmten Stabwerken ist es immer möglich die äußere Belastung und die Normalkraft $N(x)$ aus den Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen. Eine Temperaturänderung verursacht bei statisch bestimmten Problemen lediglich Wärmedehnungen und keine zusätzlichen Spannungen. Zur Lösung statisch bestimmter Probleme werden die Formeln aus dem voherigen Abschnitt herangezogen. 

Anwendungsbeispiel: Statisch bestimmte Stabwerke

Beispiel: Hängender Stab
Beispiel: Hängender Stab

Beispiel

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Gegeben sei ein hängender Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$ mit der Länge $l = 20 cm$, welcher eine konstante Querschnittsfläche $A = 50cm^2$ besitzt. Der Stab hat ein Eigengewicht $G = 10N $.

Wie groß ist die Normalspannung $\sigma$ (abhängig vom gewählten Schnitt $x$) und die Längenänderung $\triangle l$? Berechnen Sie außerdem die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes!

Bestimmung der Normalspannung

Hierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit $x$ bezeichnet. Die Normalkraft wirkt in Richtung der Stabachse:

Normalkraft am Stabelement
Normalkraft am Stabelement

$G*$ ist dabei das Gewicht des unteren Stabelements. Berechnet wird dies, indem der Dreisatz angewandt wird:

$G = l$

$G* = l - x$

$\rightarrow  G * = G / l \cdot (l - x) $.

Die Gleichgewichtsbedingung ergibt:

$\uparrow : N(x) - G* = 0 \rightarrow N(x) = G*$

Die Normalkraft ist definiert als (siehe Kurstext Spannungen im Stab):

Methode

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$\sigma = \frac{N}{A}$

Einsetzen von $N = G*$ ergibt:

$\sigma = \frac{G*}{A} = \frac{G \cdot (l - x)}{A \cdot l}$

$\sigma = \frac{G \cdot l}{A \cdot l} - \frac{G \cdot x}{A \cdot l}$

$\sigma = \frac{G}{A} - \frac{G \cdot x}{A \cdot l} $

$\sigma = \frac{G}{A} (1 - \frac{x}{l})$.


Einsetzen der Werte:

$\sigma = \frac{10 N}{50 cm^2} (1 - \frac{x}{l}) = 0,2 \frac{N}{cm^2} (1 - \frac{x}{20 cm})$

Die Spannung ist also für $x = 0$ (am oberen Ende des Stabes) am größten und liegt dann bei $\sigma = 0,2 \frac{N}{cm^2} $ (die Klammer wird 1) und am unteren Ende für $x = l = 20 cm$ bei $\sigma = 0$.

Bestimmung der Stabverlängerung

Die Stabverlängerung kann mittels der folgenden Formel bestimmt werden:

Methode

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$\triangle l = \int_0^l [\frac{N}{EA} + \alpha{_th} \triangle T] \; dx$ 

Da keine Temperaturänderung vorliegt, fällt der Anteil heraus!

Einsetzen von $\frac{N}{A} = \frac{G*}{A} = \frac{G}{A} (1 - \frac{x}{l})$.

$\triangle l = \frac{G}{EA} \int_0^l (1 - \frac{x}{l})$ 

$\triangle l = \frac{G}{EA} \cdot [x - \frac{1}{2l}x^2]_0^l $

$\triangle l = \frac{G}{EA} \cdot \frac{1}{2} l$

$\triangle l = \frac{G \cdot l}{2 EA}$.

Einsetzen der Werte:

$\triangle l = \frac{G \cdot l}{2 EA}$.


Umrechnung von $E = 19 \frac{kN}{mm^2} $ in $\frac{N}{cm^2}$:

$E = 19 \cdot \frac{1.000}{0,01} = 1.900.000 \frac{N}{cm^2}$


$\triangle l = \frac{10 N \cdot 20 cm}{2 \cdot 1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2}$.

$\triangle l = 0,000001053 \; cm$


Die Stabverlängerung beträgt 0,000001053 cm. Der Stab verlängert sich demnach auf:

$20 cm + 0,000001053 = 20,000001053 cm$.

Berechnung der Verschiebung

Es ist auch möglich die Stabverlängerung mittels der Differentialgleichung des Stabes zu bestimmen.

Methode

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$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ 

Es gilt der Sonderfall der Differentialgleichung, da die Querschnittsfläche $A$ und das E-Modul $E$ konstant sind, demnach ist die Dehnsteifigkeit ebenfalls konstant. Der Term für die Temperaturänderung fällt heraus:

$EAu'' = -n $

Um diese Differentialgleichung mit der Linienkraft $n$ berechnen zu können, wird die Gewichtskraft $G$ in eine Linienkraft umgerechnet mit [Kraft je Längeneinheit]:

$n = \frac{G}{l} = \frac{10 N}{20 cm} = 0,5 \frac{N}{cm}$


Die Verschiebung kann nun durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung gelöst werden:

(1) $EAu'' = -0,5 \frac{N}{cm}$

(2) $EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1$

(3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$

Die Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Aus (3) erhält man dann:

$EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$

$EA \cdot 0 =  -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$

$C_2 = 0$.

Für das untere Stabende ($x = l)$ ist die Normalspannung (bereits oben bestimmt) gleich null $\sigma = 0$. Die Normalkraft kann bei dieser Vorgehensweise bestimmt werden durch:

$N(x) = EA \cdot (u'(x) - \alpha_{th} \triangle T) $


Es gilt $N = \sigma \cdot A$:

$\sigma \cdot A = EA \cdot (u'(x) - \alpha_{th} \triangle T) $

Einsetzen von $\sigma = 0$ und $x = l$:

$0 = EA \cdot (u'(l) - \alpha_{th} \triangle T) $

Temperaturänderung fällt heraus:

$0 = EA \cdot u'(l)$

Zweite Differentialgleichung (2) anwenden:

(2) $EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1$

Und einsetzen von $u'(x = l) = 0$:

$EA \cdot 0 = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot l + C_1$

$C_1 = 0,5 \frac{N}{cm} \cdot l = 0,5 \frac{N}{cm} \cdot 20 cm = 10 N$

Diese Integrationskonstanten werden nun eingesetzt in (3):

(3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + 10N \cdot x$.

Die Verschiebung wird bestimmt, indem durch $EA$ geteilt wird:

$u = \frac{1}{EA} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + 10N \cdot x)$.


Um nun daraus die Stabverlängerung zu bestimmen, müssen die Stabenden betrachtet werden:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) = \frac{1}{EA} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} l^2 + 10N \cdot l) - \frac{1}{EA} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + 10N \cdot 0)$


Einsetzen der Werte $l = 20 cm$, $E = 1.900.000 \frac{N}{cm^2}$ und $A = 50 cm^2$:

$\triangle l =  \frac{1}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} (20 cm)^2 + 10N \cdot 20 cm) - \frac{1}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + 10N \cdot 0)$

$\triangle l = 0,000001053 cm$


Die Stabverlängerung ist natürlich identisch mit der oben berechneten. Der Stab verlängert sich also auf:

$20 cm + 0,000001053 = 20,000001053 cm$.