Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)

In diesem Abschnitt soll das Beispiel aus dem vorangegangenem Abschnitt nochmals aufgeführt werden. Diesmal handelt es sich allerdings um einen gewichtslosen Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift:

Beispiel: Normalkraft und Stabverlängerung

Bestimmung der Normalspannung

Die Normalspannung wird bestimmt, indem ein Schnitt durch den Stab durchgeführt wird und die Gleichgewichtsbedingung angewandt wird:

$\uparrow : N - G = 0$

$N = G$.

Es handelt sich in diesem Fall um eine konstante Normalkraft.

Die Normalspannung bestimmt sich zu:

$\sigma = \frac{N}{A} = \frac{G}{A} = \frac{10 N}{50 cm^2} = 0,2 \frac{N}{cm^2}$

Die Normalspannung ist ebenfalls konstant.

Bestimmung der Stabverlängerung

Die Stabverlängerung bestimmt sich durch:

$\triangle l = \int_0^l [\frac{N}{EA} + \alpha{_th} \triangle T] \; dx$ 

Der Term mit der Temperaturänderung fällt heraus, da $\triangle T = 0$:

$\triangle l = \int_0^l \frac{N}{EA}\; dx$

$\triangle l = [\frac{N}{EA} \cdot x]_0^l$

$\triangle l = \frac{N}{EA} \cdot l$

Einsetzen der Werte mit $N = G$:

$\triangle l = \frac{10 N}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} \cdot 20 cm$

$\triangle l = 0,000002105 \; cm$

Die Stabverlängerung beträgt 0,000002105 cm. Der Stab verlängert sich also auf:

$20 \; cm +  0,000002105 \; cm =  20,000002105 \; cm$.

Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel ist die Stabverlängerung doppelt so groß.

Differentialgleichung des Stabes

Differentialgleichung des Stabes ist:

$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ 

$EA$ ist konstant und $\triangle T = 0$.

$EAu'' = -n$.

Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft):

(1) $EAu'' = 0$

(2)$EAu' = N(x)$

Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant:

$EAu' = N $.

(3) $EAu = N \cdot x + C_1$

Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$:

$EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$

$C_1 = 0$.

(3) $EAu = N \cdot x$

Auflösen nach $u$:

$u = \frac{N}{EA} \cdot x$

Die Stabverlängerung berechnet sich durch die Differenz der Verschiebung an den Stabenden:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) =  \frac{N}{EA} \cdot l - \frac{N}{EA} \cdot 0 =  \frac{N}{EA} \cdot l$

Einsetzen der Werte:

$\triangle l = \frac{10 N}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} \cdot 20 cm$

$\triangle l = 0,000002105 \; cm$

Die Stabverlängerung beträgt (wie oben bereits berechnet) 0,000002105 cm.