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Differentialgleichung eines Stabes

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In den vorherigen Kapiteln sind die Spannungen und Verformungen aufgezeigt worden, welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.

Methode

Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:

1. Die Gleichgewichtsbedingung

2. Die kinematische Beziehung

3. Das Elastizitätsgesetz.

Gleichgewichtsbedingung

Die Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten Stab aufgestellt. Die Aufstellung der Gleichgewichtsbedinungen sollte bereits aus der Statik bekannt sein und wird hier anhand eines Stabelements durchgeführt. In der folgenden Grafik ist ein Stab mit veränderlichem Querschnitt zu sehen. Dieser wird an beiden Enden mit den Kräften $F_1$ und $F_2$ belastet. Zusätzlich greift noch eine Linienkraft $n(x)$ in Richtung der Stabachse an. An der linken Schnittstelle des Stabelements $ x$ wirkt die Normalkraft $N$ und an der rechten Schnittstelle $ x + dx $ die Normalkraft $ N + dN $. Die Normalkräfte stehen immer senkrecht auf der betrachteten Querschnittsfläche:

Normalkräfte am Stabelement
Normalkräfte am Stabelement

Es wird nun die horizontale Gleichgewichtsbedingung am unteren Stabelement angewandt: 

$\rightarrow : -N + ndx + (N + dN) = 0$

Kürzen ergibt: $dN + ndx = 0 $

Aus dieser Gleichgewichtsbedingung lässt sich durch Division von $dx$ die folgende Differentialgleichung bilden:

Methode

$\frac{dN}{dx} + n = 0 $                                      Gleichgewichtsbedingung

Sollte die Linienkraft $ n(x) $ verschwinden, dann gilt $\frac{dN}{dx} = 0$. Die Ableitung von $N$ nach $x$ ist demnach gleich null und somit ist die Normalkraft $N$ konstant.

Die kinematische Beziehung ist bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt und lautet:

Methode

$\epsilon = \frac{du}{dx} \rightarrow $ Dehnung.                    Kinematische Beziehung

Anschließend fehlt noch das Elastizitätsgesetz (Hookesche Gesetz $\epsilon_{el}$ unter Berücksichtigung der thermischen Dehnung $\epsilon_{th}$):

Methode

$\epsilon_{ges} = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \triangle T $           Elastizitätsgesetz

Elastizitätsgesetz des Stabes

Nachdem alle drei Gleichungen aufgestellt wurden, setzt man in das Elastizitätsgesetz die kinematische Beziehung ein und ersetzt $\sigma $ durch $\frac{N}{A} $. Daraus ergibt sich dann das Elastizitätsgesetz für den Stab:

Methode

$\epsilon = \frac{du}{dx} = \frac{N}{EA} + \alpha_{th} \triangle T$     Elastizitätsgesetz für den Stab

Dabei ist $ EA $ das Produkt aus Elastizitätsgesetz $E$ und der Fläche $A$ des Querschnitts und stellt die Dehnsteifigkeit des Stabs dar.

Differentialgleichung des Stabes

In einem letzten Schritt wird nun das Elastizitätsgesetz für den Stab nach $ N $ aufgelöst und in die Gleichgewichtsbedingung eingesetzt. Hieraus ergibt sich dann die Differentialgleichung des Stabes. Mittels dieser kann man die Verschiebung $u(x)$ bestimmen, wenn der Verlauf von $EA$, $\triangle T$ und $n$ gegeben ist.

Methode

$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $    Differentialgleichung

Die Striche ' stehen für die Ableitungen nach $ x$.

Merke

Stellt sich heraus, dass sowohl $ EA = const $ und $\triangle T = const $, so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:

$ EAu'' = - n $

Diese Differentialgleichung lässt sich dann durch zweimaliges integrieren lösen. 
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Durch $\epsilon = \frac{du}{dx}$ wird die Beziehung eines Stabes beschrieben.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Differentialgleichung eines Stabes

  • Jessica Scholz schrieb am 25.10.2015 um 17:17 Uhr
    Es handelt sich hierbei um einen Stab mit einem veränderlichen Querschnitt. Da dieser also nicht über die Länge des Stabes konstant ist, wird ein infinitesimal kleines Element dx aus dem Stab herausgeschnitten. Die Normalkraft (wird aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung ermittelt) steht senkrecht auf dem Querschnitt. Da der Schnitt an beiden Seiten durchgeführt wurde, muss auch an beiden Seiten in entgegengesetzter Richtung eine Normalkraft angebracht werden (actio = reactio). Die Normalkraft auf der rechten Seite muss aber noch um Nd erweitert werden, weil der Stab einen veränderlichen Querschnitt aufweist. Die Linienkraft n(x) wurde im Text über der Grafik als gegeben angenommen. Für die Veranschaulichung wirkt also eine Linienkraft längs der Stabachse. Diese ist abhängig von x, weil - wie bereits erwähnt- der Querschnitt des Stabes nicht konstant ist. ndx gilt wieder für das infinitesimal kleine Element, welches aus dem Stab herausgeschnitten wird, Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • Jan Morthorst schrieb am 15.02.2015 um 09:04 Uhr
    Hallo Herr Stanev, ich habe mir die Aufgabe gerade angeschaut und konnte kein Anzeigeproblem feststellen. Ich gebe ihr Anliegen dennoch an die entsprechende Fachabteilung weiter, die dies für Sie überprüfen wird. Sollte ein Problem vorliegen, werden wir es beheben. Bis dahin weiterhin viel Spaß mit Ihrem Onlinekurs - Ihr Ingenieurkurse.de-Team
  • Karel Stanev schrieb am 14.02.2015 um 10:31 Uhr
    Bei der Multiple-Choice sieht man die Formel nicht. Ist dann schwierig richtig zu antworten. Habe schon mein Chrome neu instaliert, aber sehe trotzdem nichts. Bei anderen Kontrollfragen sehe ich alles.
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Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Differentialgleichung eines Stabes ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

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