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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Differentialgleichung eines Stabes

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Differentialgleichung eines Stabes

In den vorherigen Kapiteln sind die Spannungen und Verformungen aufgezeigt worden, welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.

Methode

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Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:

1. Die Gleichgewichtsbedingung

2. Die kinematische Beziehung

3. Das Elastizitätsgesetz.

Gleichgewichtsbedingung

Die Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten Stab aufgestellt. Die Aufstellung der Gleichgewichtsbedinungen sollte bereits aus der Statik bekannt sein und wird hier anhand eines Stabelements durchgeführt. In der folgenden Grafik ist ein Stab mit veränderlichem Querschnitt zu sehen. Dieser wird an beiden Enden mit den Kräften $F_1$ und $F_2$ belastet. Zusätzlich greift noch eine Linienkraft $n(x)$ in Richtung der Stabachse an. An der linken Schnittstelle des Stabelements $ x$ wirkt die Normalkraft $N$ und an der rechten Schnittstelle $ x + dx $ die Normalkraft $ N + dN $. Die Normalkräfte stehen immer senkrecht auf der betrachteten Querschnittsfläche:

Normalkräfte am Stabelement
Normalkräfte am Stabelement

Es wird nun die horizontale Gleichgewichtsbedingung am unteren Stabelement angewandt: 

$\rightarrow : -N + ndx + (N + dN) = 0$

Kürzen ergibt: $dN + ndx = 0 $

Aus dieser Gleichgewichtsbedingung lässt sich durch Division von $dx$ die folgende Differentialgleichung bilden:

Methode

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$\frac{dN}{dx} + n = 0 $                                      Gleichgewichtsbedingung

Sollte die Linienkraft $ n(x) $ verschwinden, dann gilt $\frac{dN}{dx} = 0$. Die Ableitung von $N$ nach $x$ ist demnach gleich null und somit ist die Normalkraft $N$ konstant.

Die kinematische Beziehung ist bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt und lautet:

Methode

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$\epsilon = \frac{du}{dx} \rightarrow $ Dehnung.                    Kinematische Beziehung

Anschließend fehlt noch das Elastizitätsgesetz (Hookesche Gesetz $\epsilon_{el}$ unter Berücksichtigung der thermischen Dehnung $\epsilon_{th}$):

Methode

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$\epsilon_{ges} = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \triangle T $           Elastizitätsgesetz

Elastizitätsgesetz des Stabes

Nachdem alle drei Gleichungen aufgestellt wurden, setzt man in das Elastizitätsgesetz die kinematische Beziehung ein und ersetzt $\sigma $ durch $\frac{N}{A} $. Daraus ergibt sich dann das Elastizitätsgesetz für den Stab:

Methode

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$\epsilon = \frac{du}{dx} = \frac{N}{EA} + \alpha_{th} \triangle T$     Elastizitätsgesetz für den Stab

Dabei ist $ EA $ das Produkt aus Elastizitätsgesetz $E$ und der Fläche $A$ des Querschnitts und stellt die Dehnsteifigkeit des Stabs dar.

Differentialgleichung des Stabes

In einem letzten Schritt wird nun das Elastizitätsgesetz für den Stab nach $ N $ aufgelöst und in die Gleichgewichtsbedingung eingesetzt. Hieraus ergibt sich dann die Differentialgleichung des Stabes. Mittels dieser kann man die Verschiebung $u(x)$ bestimmen, wenn der Verlauf von $EA$, $\triangle T$ und $n$ gegeben ist.

Methode

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$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $    Differentialgleichung

Die Striche ' stehen für die Ableitungen nach $ x$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Stellt sich heraus, dass sowohl $ EA = const $ und $\triangle T = const $, so vereinfacht sich die Differentialgleichung zu:

$ EAu'' = - n $

Diese Differentialgleichung lässt sich dann durch zweimaliges integrieren lösen.