Definition der Arbeit

Arbeit einer Kraft

Wird ein Körper durch eine konstante Kraft $F$ um den Weg $s$ verschoben, so ist die Arbeit $W$ der Kraft $F$ das Produkt aus Kraft mal Strecke:

Wichtig bei dieser Definition ist zum einen, dass die Kraft $F$ konstant ist und zum anderen, dass Kraft und Weg gleichgerichtet sein müssen. 

Arbeit eines Kraftvektors

Betrachten wir als nächstes die Vektorrechnung. Gegeben sei ein Kraftvektor $\vec{F}$ mit dem Angriffspunkt $A$. Die Lage des Kraftvektors sei durch den Ortsvektor $\vec{r}$ beschrieben. Bei einer infinitesimalen (Duden: zum Grenzwert hin unendlich klein werdend) Verschiebung $dr$ des Kraftangriffspunktes, leistet der Kraftvektor $\vec{F}$ eine Arbeit $dW$, welche durch das Skalarprodukt definiert ist:

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$

Das Skalarprodukt kann auch geschrieben werden zu:

$\vec {F} \cdot d\vec {r}=|\vec {F}| |d\vec {r}| \cos \sphericalangle (\vec {F}, d\vec {r})$

Der eingeschlossenen Winkel zwischen den beiden Vektoren sei $\sphericalangle (\vec {F}, d\vec {r}) = \alpha$.

Damit ergibt sich die Arbeit zu:

Die Arbeit ist also das Produkt aus der Kraftkomponente $F \cos (\alpha)$ in Richtung des Weges multipliziert mit dem  Weg $dr$. Für die Berechnung der Arbeit geht also nur diejenige Kraftkomponente ein, die in Richtung des Weges gerichtet ist. Stehen Kraft und Weg senkrecht (im 90°- Winkel) aufeinander, so ist die Arbeit gleich Null ($\alpha = 90°$):

$\cos(90°) = 0$ und damit $dW = 0$

Die gesamte Arbeit von einem Punkt 1 zu einem Punkt 2 ergibt sich dann zu: 

Berechnen wir die Arbeit nicht mit dem Kraftvektor $\vec{F}$, sondern mit den Betrag der Kraft $|\vec{F}| = F$ (so wie es häufig der Fall ist), so müssen wir berücksichtigen, dass nur der Kraftanteil in die Berechnungen eingeht, welcher auch in Richtung des Weges zeigt:

Es ist ebenfalls möglich die Arbeit mittels Moment auszudrücken. Dazu betrachten wir einen beidseitigen Hebel, an welchem die Kräfte $F_1$ und $F_2$ angreifen:

Arbeit eines Momentenvektors

In der obigen Grafik ist ein Balken durch das Festlager $A$ gelenkig gelagert. Bei einer infinitesimalen Drehung des Balkens um das Lager $A$, wird von der Kraft $F_1$ Arbeit geleistet von:

$dW = F_1 \cdot ds_1$

Wir können den Weg $ds_1$ auch über den Winkel $d\varphi$ ausdrücken. Dazu wenden wir den Tangens an:

$\tan(d\varphi) = \frac{ds_1}{a}$

Für kleine Winkel gilt $\tan(d\varphi) = d\varphi$ und damit:

$d\varphi = \frac{ds_1}{a}$

Auflösen nach $ds_1$:

$ds_1 = a \cdot d\varphi$

Einsetzen in $dW$:

$dW = F_1 \cdot a \cdot d\varphi$

Dabei ist $a$ der senkrechte Abstand von der Kraft $F_1$ zum Drehpunkt (Lager $A$) und damit gilt:

$M_1 = F_1 \cdot a$

Die Arbeit kann demnach auch über den Momentenvektor definiert werden zu:

$dW = M_1 \cdot d\varphi$

Der Momentenvektor $M_1$ leistet also bei einer infinitesimalen Drehung um $d\varphi$ die Arbeit $dW$.

Die Arbeit für eine endliche Drehung ergibt sich dann durch Integration: