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Technische Mechanik 1: Statik - Definition der Arbeit

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Technische Mechanik 1: Statik

Definition der Arbeit

Arbeit einer Kraft
Arbeit einer Kraft

 

Wird ein Körper durch eine konstante Kraft $F$ um den Weg $s$ verschoben, so ist die Arbeit $W$ der Kraft $F$ das Produkt aus Kraft mal Strecke:

Methode

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$W = F \cdot s$                                          Arbeit bei konstanter Kraft

Wichtig bei dieser Definition ist zum einen, dass die Kraft $F$ konstant ist und zum anderen, dass Kraft und Weg gleichgerichtet sein müssen. 

 

Arbeit eines Kraftvektors, infinitesimal, Arbeit, Verschiebung
Arbeit eines Kraftvektors

 

Betrachten wir als nächstes die Vektorrechnung. Gegeben sei ein Kraftvektor $\vec{F}$ mit dem Angriffspunkt $A$. Die Lage des Kraftvektors sei durch den Ortsvektor $\vec{r}$ beschrieben. Bei einer infinitesimalen (Duden: zum Grenzwert hin unendlich klein werdend) Verschiebung $dr$ des Kraftangriffspunktes, leistet der Kraftvektor $\vec{F}$ eine Arbeit $dW$, welche durch das Skalarprodukt definiert ist:

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$

 

Das Skalarprodukt kann auch geschrieben werden zu:

$\vec {F} \cdot d\vec {r}=|\vec {F}| |d\vec {r}| \cos \sphericalangle (\vec {F}, d\vec {r})$

 

Der eingeschlossenen Winkel zwischen den beiden Vektoren sei $\sphericalangle (\vec {F}, d\vec {r}) = \alpha$.

Damit ergibt sich die Arbeit zu:

Methode

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$dW = |\vec {F}| |d\vec{r}| \cos (\alpha)$

Die Arbeit ist also das Produkt aus der Kraftkomponente $F \cos (\alpha)$ in Richtung des Weges multipliziert mit dem  Weg $dr$. Für die Berechnung der Arbeit geht also nur diejenige Kraftkomponente ein, die in Richtung des Weges gerichtet ist. Stehen Kraft und Weg senkrecht (im 90°- Winkel) aufeinander, so ist die Arbeit gleich Null ($\alpha = 90°$):

$\cos(90°) = 0$ und damit $dW = 0$

 

Die gesamte Arbeit von einem Punkt 1 zu einem Punkt 2 ergibt sich dann zu: 

Methode

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$W = \int dW = \int \vec{F} \; d\vec{r}$

 

Berechnen wir die Arbeit nicht mit dem Kraftvektor $\vec{F}$, sondern mit den Betrag der Kraft $|\vec{F}| = F$ (so wie es häufig der Fall ist), so müssen wir berücksichtigen, dass nur der Kraftanteil in die Berechnungen eingeht, welcher auch in Richtung des Weges zeigt:

Methode

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$W = \int F(s) \cdot s$                   Arbeit bei wegabhängiger Kraft

 

Es ist ebenfalls möglich die Arbeit mittels Moment auszudrücken. Dazu betrachten wir einen beidseitigen Hebel, an welchem die Kräfte $F_1$ und $F_2$ angreifen:

Arbeit eines Momentenvektors
Arbeit eines Momentenvektors

 

In der obigen Grafik ist ein Balken durch das Festlager $A$ gelenkig gelagert. Bei einer infinitesimalen Drehung des Balkens um das Lager $A$, wird von der Kraft $F_1$ Arbeit geleistet von:

$dW = F_1 \cdot ds_1$

 

Wir können den Weg $ds_1$ auch über den Winkel $d\varphi$ ausdrücken. Dazu wenden wir den Tangens an:

$\tan(d\varphi) = \frac{ds_1}{a}$

 

Für kleine Winkel gilt $\tan(d\varphi) = d\varphi$ und damit:

$d\varphi = \frac{ds_1}{a}$

Auflösen nach $ds_1$:

$ds_1 = a \cdot d\varphi$

 

Einsetzen in $dW$:

$dW = F_1 \cdot a \cdot d\varphi$

 

Dabei ist $a$ der senkrechte Abstand von der Kraft $F_1$ zum Drehpunkt (Lager $A$) und damit gilt:

$M_1 = F_1 \cdot a$

 

Die Arbeit kann demnach auch über den Momentenvektor definiert werden zu:

$dW = M_1 \cdot d\varphi$

Der Momentenvektor $M_1$ leistet also bei einer infinitesimalen Drehung um $d\varphi$ die Arbeit $dW$.

 

Die Arbeit für eine endliche Drehung ergibt sich dann durch Integration:

Methode

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$W = \int dW = \int  M_1 \cdot d\varphi$

 

Merke

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Die Einheit der Arbeit ist Joule (J). Es gilt: 1 J = 1 Nm$