Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften

Wird ein Körper von mehr als zwei Kräften belastet, so ist ein Kräftegleichgewicht gegeben, sofern die Kraftpfeile grafisch zusammen ein geschlossenes Krafteck bilden.

Gegeben seien die drei Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$. Befindet sich der Balken im Gleichgewicht, d.h. befindet sich der Balken in Ruhe?

Die Antwort kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht:

Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem Fuß an der Spitze der letzten Kraft und mit ihrer Spitze am Fuß der ersten Kraft:

Wird diese zusätzliche Kraft (schwarz) dem Balken hinzugefügt, so befindet sich dieser im Gleichgewicht.

Hier darf in keinem Fall das geschlossene Krafteck mit der Bestimmung der Resultierenden verwechselt werden. Sollen alle drei auf den Balken wirkenden Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden, so wird die Resultierende bestimmt, indem diese mit dem Fuß an den Fuß der ersten Kraft gelegt wird und mit der Spitze an die Spitze der letzten Kraft. Die Resultierende ist dabei die Zusammenfassung aller drei Kräfte und hat dieselbe Wirkung auf den Balken wie die drei Kräfte zusammen. 

Gleichgewichtsbedingungen

Bei einem gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte in der Ebene stehen zwei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:

Alle Kräfte in $x$-Richtung müssen zusammen null ergeben. Dabei werden die Kräfte in positive $x$-Richtung auch positiv berücksichtigt, die Kräfte in negative $x$-Richtung dagegen negativ. Die Summe muss dann null ergeben.

Alle Kräfte in $y$-Richtung müssen zusammen null ergeben. Dabei werden die Kräfte in positive $y$-Richtung auch positiv berücksichtigt, die Kräfte in negative $y$-Richtung dagegen negativ. Die Summe muss dann null ergeben.

Liegen Kräfte vor, die weder in $x$-Richtung noch $y$-Richtung wirken, so muss zunächst eine Kräftezerlegung durchgeführt werden (siehe Abschnitt: Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt). Die $x$- und $y$-Komponenten der Kräfte können dann innerhalb der entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigt werden.

Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenMan hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung: 

Beispiel: Kräftegleichgewicht

In diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben wirken. Erstellt man nun einen Kräfteplan, wie in der obigen Abbildung, sieht man sehr schnell, dass ein geschlossenes Krafteck vorliegt und sich das Bild im Kräftegleichgewicht befindet. Das bedeutet, dass die resultierende Kraft gleich Null ist (es besteht keine Möglichkeit eine Resultierende in das Krafteck einzufügen, da es bereits geschlossen ist). Die einzige Möglichkeit wäre zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammen zu fassen. So könnten z.B. die beiden Seilkräfte zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden, um diese an nur einem Seil oder Nagel aufzuhängen.

Es soll die Gewichtskraft $F_G$ bestimmt werden!

Werden nun alle Kräfte mit ihrem Fuß in den Koordinatenursprung gelegt, so kann man die Kräftezerlegung für die Kräfte $F_1$ und $F_2$ vornehmen, da diese weder in $x$- noch in $y$-Richtung wirken. ($F_G$ ist bereits eine Kraft in $y$-Richtung). 

Die Kräftezerlegung für $F_1$ erfolgt dabei im 1. Quadranten des Koordinatensystems mit:

$F_{1x} = F_1 \cdot \cos(30°)$      zeigt in positive $x$-Richtung

$F_{1y} = F_1 \cdot \sin (30°)$      zeigt in positive $y$-Richtung

Die Kräftezerlegung für $F_2$ erfolgt im 2. Quadranten:

$F_{2x} = F_2 \cdot \cos(30°)$      zeigt in negative $x$-Richtung

$F_{2y} = F_2 \cdot \sin (30°)$      zeigt in positive $y$-Richtung

Zur Wiederholung:

Es können nun die beiden Gleichgewichtsbedingungen angewandt werden, um $F_G$ zu bestimmen. 

$\sum F_{ix} = 0$

$F_1 \cdot \cos(30°) - F_2 \cdot \cos(30°) = 0$

Für die Vorzeichenkonvention gilt, dass alle Kräfte die in positive $x$-Richtung zeigen auch positiv und alle Kräfte die in negative $x$-Richtung zeigen negativ in die Berechnung eingehen.

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung kann $F_G$ nicht bestimmt werden, da $F_G$ eine Vertikalkraft darstellt.

$\sum F_{iy} = 0$

$- F_G + F_1 \cdot \sin(30°) + F_2 \cdot \sin(30°) = 0$

Für die Vorzeichenkonvention gilt, dass alle Kräfte die in positive $y$-Richtung zeigen auch positiv und alle Kräfte die in negative $y$-Richtung zeigen negativ in die Berechnung eingehen.

Hier kann nun $F_G$ bestimmt werden (auflösen nach $F_G$):

$F_G =  F_1 \cdot \sin(30°) + F_2 \cdot \sin(30°) $

$F_G = 10 N \cdot \sin(30°) + 10 N \cdot \sin(30°) = 10 N$

Da für $F_G$ eine positive Kraft resultiert (10N), ist die angenommene Richtung von $F_G$ korrekt. Das bedeutet also, $F_G$ wirkt, wie wir es angenommen haben, nach unten. Wäre nun eine negativer Wert resultiert, dann würde $F_G$ tatsächlich genau entgegengesetzt wirken.

Zur Überprüfung kann man die Kräfte nochmals in die Gleichgewichtsbedingungen eingeben. Diese müssen null ergeben:

$\rightarrow:  10 N \cos (30°) - 10 N \cos (30°) = 0$.

$\uparrow:  10 N \sin (30°) + 10 N \sin (30°) - 10 N = 0$.

Anwendungsbeispiel: Anwendung des Kosinussatzes

Bei der Bestimmung von unbekannten Winkel in nicht-rechtwinkligen Dreiecken kann der Kosinussatz bzw. Sinussatz angewendet werden. In dem folgenden Beispiel wird zur Bestimmung zweier unbekannter Winkel der Kosinussatz herangezogen:

Beispiel: Winkelbestimmung

Auf den dunklen Punkt über $F_2$ wirken die Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$. $F_1$ hat 10 Newton, $F_2$ hat 12 Newton und $F_3$ hat 8 Newton. Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind unbekannt und sollen berechnet werden.

Das dazugehörige Freikörperbild sieht wie folgt aus:

Freikörperbild

Wie werden nun die Winkel $\alpha$ und $\beta$ bestimmt? Da es sich hier um ein Gleichgewicht handeln soll, also die Resultierende der drei Kräfte den Wert Null annimmt, muss es sich hierbei (wie oben gezeigt) um ein Kraftdreieck handeln. In der obigen Aufgabe sind die Gleichgewichtsbedingungen angewandt worden, um die unbekannte Kraft zu bestimmen. Hier soll der Kosinussatz verwendet werden, um die unbekannten Winkel zu berechnen.

Berechnung von Alpha

Betrachtet wird der Winkel $\alpha$ im Freikörperbild. Dieser wird von der Kraft $F_1$ und $F_2$ (teilweise) eingeschlossen. Um den vollständig eingeschlossenen Winkel zwischen den beiden Kräften zu ermitteln, muss der 90° Winkel zwischen $F_2$ und negativer $x$-Achse hinzuaddiert werden:

Eingeschlossener Winkel

Es sind nun also die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sowie der von diesen zwei Kräften eingeschlossene Winkel $\alpha + 90°$ gegeben. Die dritte Seite, die eigentlich mit dem Kosinussatz berechnet wird, ist hier schon gegeben mit $F_3$. Der Kosinussatz sieht also wie folgt aus:

$F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\alpha + 90°)}$

Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung ergibt sich:

$F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \sin (\alpha)}$

Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt:

$F_3^2 = F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \sin (\alpha)$

Auflösen nach $\sin (\alpha)$:

$\sin (\alpha) =  \frac{F_1^2 + F_2^2 - F_3^2}{2 \cdot F_1 \cdot F_2}$

Einsetzen der Werte:

$\sin (\alpha) =  \frac{10^2 + 12^2 - 8^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} = 0,75$

$\alpha = \sin^{-1} (0,75) = 48,59°$

Berechnung von Beta

Bei der Berechnung des Winkels $\beta$ geht man genau so vor wie bei der Berechnung des Winkels $\alpha$. Allerdings werden hier die beiden Kräfte $F_3$ und $F_2$ betrachtet und der eingeschlossene Winkel $\beta + 90°$. Die sich ergebende Seite ist dann $F_1$:

$F_1 = \sqrt{F_3^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_3 \cdot F_2 \cdot \cos (\beta + 90°)}$

Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung ergibt sich:

$F_1 = \sqrt{F_3^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_3 \cdot F_2 \cdot \sin (\beta)}$

Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt:

$F_1^2 = F_3^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_3 \cdot F_2 \cdot \sin (\beta)$

Auflösen nach $\sin (\beta)$:

$\sin (\beta) =  \frac{F_3^2 + F_2^2 - F_1^2}{2 \cdot F_3 \cdot F_2}$

Einsetzen der Werte:

$\sin (\beta) =  \frac{8^2 + 12^2 - 10^2}{2 \cdot 8 \cdot 12} = 0,5625$

$\beta = \sin^{-1} (0,5625) = 34,23°$

Teilresultierende müssen Null ergeben

Wie bereits im vorherigen Beispiel gezeigt, müssen bei einem Kraftdreieck, also bei einem Kräftegleichgewicht, die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ Null ergeben:

$R_x = -10 \cos (48,59°) + 8 \cos (34,23°) \approx 0$.

$R_y = 10 \sin (48,59°) - 12 + 8 \sin (34,23°) \approx 0$.

Anwendungsbeispiel: Sinussatz

In diesem Beispiel soll der Sinussatz aufgezeigt werden um den unbekannten Winkel zu bestimmen:

Beispiel: Sinussatz

Das obige Beispiel zeigt ein Gelenk, welches durch das Gewicht $G$ sowie durch die Seilkräfte $S_1$ und $S_2$ im Gleichgewicht gehalten wird. Bekannt sind die Winkel sowie die Gewichtskraft $G$, welche 10 Newton betragen soll. Die Seilkräfte $S_1$ und $S_2$ sind unbekannt und sollen berechnet werden. Zur Lösung dieses Problems verwendet man den Sinussatz (Kosinussatz nicht möglich, da zwei Seiten unbekannt sind). 

Mithilfe des Kräftedreiecks wird nun der Sinussatz angewandt, um die Seilkräfte zu bestimmen. Da ein Dreieck immer 180° hat, kann man den Winkel $\gamma$ berechnen mit:

$\gamma = 180° - 45° - 30° = 105°$.

Berechnung der Seilkräfte

Berechnung von $S_1$:

$\frac{S_1}{\sin (30°)} = \frac{G}{\sin (105°)}$

Auflösen nach $S_1$:

$S_1 = \frac{G}{\sin (105°)} \cdot \sin (30°)$

$S_1 = \frac{10}{\sin (105°)} \cdot \sin (30°) = 5,18 N$

Berechnung von $S_2$:

$\frac{S_2}{\sin (45°)} = \frac{G}{\sin (105°)}$

Auflösen nach $S_2$:

$S_2 = \frac{G}{\sin (105°)} \cdot \sin (45°)$

$S_2 = \frac{10}{\sin (105°)} \cdot \sin (45°) = 7,32 N$

Teilresultierende müssen Null ergeben

Wie bereits in den vorherigen Beispielen gezeigt, müssen bei einem Kraftdreieck, also bei einem Kräftegleichgewicht, die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ Null ergeben:

Komponenten der Kräfte berechnen

Die Berechnung erfolgt wieder mit den Winkeln zur positiven $x$-Achse (so können die Vorzeichen unberücksichtigt bleiben):

$R_x = S_2 \cdot \cos (30° + 90°) + S_1 \cdot \cos (90° - 45°) + G \cdot \cos (270°)$

$R_x = 7,32 \cdot \cos (120°) + 5,18 \cdot \cos (45°) + 10 \cdot \cos (270°) = 0$  

$R_y = S_2 \cdot \sin (30° + 90°) + S_1 \cdot \sin (90° - 45°) + G \cdot \sin (270°)$ 

$R_y = 7,32 \cdot \sin (120°) + 5,18 \cdot \sin (45°) + 10 \cdot \sin (270°) = 0$