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Strömungslehre

Drallsatz (Impulsmomentensatz)

Das Impulsmoment, oder auch Drall, ist das Produkt aus Impuls und Hebelarm. Der Impulsmomentensatz oder Drallsatz lautet:

Merke

Das Drehmoment $M$ der äußeren Kraft ist gleich der Änderung des Impulsmoments.

Es werden im Weiteren wieder die Stützkräfte (Impulsstrom plus Druckenergie) herangezogen. Das heisst, dass die einzelnen Momente (Kraft mal Hebelarm) zusammen null ergeben müssen:

$S_{aus} \cdot x + S_{ein} \cdot x + F_G \cdot x + F_A \cdot x = 0$.

Alle äußeren Kräfte mal Hebelarm (hier: $x$) müssen alle zusammen gleich null ergeben.

Der Drallsatz oder auch Impulsmomentensatz erweitert also die zwei Gleichgewichtsbedingungen (horizontal, vertikal) um eine dritte Gleichgewichtsbedingung. Auch diese sollte aus der Statik bekannt sein, nämlich das Momentengleichgewicht. Dieses ist notwendig, wenn die horizontale und vertikale Gleichgewichtsbedingung nicht ausreichen, um die Auflagerkräfte zu berechnen. Das Vorgehen ist wie im Abschnitt: Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung, nur dass jetzt noch eine dritte Gleichgewichtsbedingung hinzukommt.

Methode

Vorgehensweise:

1. Berechnung der Stützkräfte.

2. Zerlegung der Kräfte in Horizontal- und Vertikalkomponenten mittels Trigonometrie.

3. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung (auch der Momentengleichgewichtsbedingung wenn notwendig) und Berücksichtigung der Kräfte.

4. Auflösung der Gleichgewichtsbedingungen nach der gesuchten Kraft.

Die Berechnung von Momenten erfolgt, indem man zunächst einen Bezugspunkt festlegt. Hier wählt man zunächst den Punkt, in welchen die meisten Kräfte angreifen, denn diese Kräfte gehen dann nicht in die Berechnung der Momentengleichgewichtsbedingung ein. Es muss also immer ein Hebelarm (senkrechter Abstand der Kraft zum Bezugspunkt) vorhanden sein, damit dieser innerhalb der Momentengleichgewichtsbedingung berücksichtigt wird. Außerdem muss noch die Drehrichtung beachtet werden. Dreht die Kraft das Rohr um den Bezugspunkt IM Uhrzeigersinn, so wird ein Minuszeichen verwendet. Im Folgenden wird die Berechnung mittels Momentengleichgewichtsbedingung anhand eines Beispiels aufgezeigt.

Beispiel: Impulsmomentensatz

Gegeben sei das folgende Rohr (in $x$-$y$-Ebene) mit den folgenden Auflagerkräften:

Drallsatz Beispiel

Beispiel

Das obige Rohr muss man sich nun liegend vorstellen, d.h. also die Grafik zeigt die Draufsicht auf das Rohr. Die Höhe $z$ ist somit gleich null. Das Rohr ist auf zwei Lagern $A$ (Festlager) und $B$ (Loslager) gelagert, welche berechnet werden sollen! Folgende Werte sind gegeben:

$p_1 = 101.000 Pa$ / $A_1 = 0,00196m^2$ / $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$ / $w_1 = 5,10 \frac{m}{s}$ / $p_2 = 82.563,10 Pa$ / $A_2 = 0,00126 m^2$ / $w_2 = 7,93 \frac{m}{s}$.

1. Bestimmung der Stützkräfte

In diesem Fall sind alle Werte gegeben, um die Stützkräfte sofort zu bestimmen. Es muss also keine Bernoulli-Gleichung aufgestellt werden.

Die Stützkräfte ergeben sich gemäß (siehe Formel Grafik):

$\small{S_1 = 101.000 Pa \cdot 0,00196 m^2 +  999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 0,00196 m^2 \cdot (5,10 \frac{m}{s})^2}$

$S_1 = 248,94 N$.

$\small{S_2 = 82.563,10 Pa \cdot  0,00126 m^2 + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot  0,00126 m^2 \cdot (7,93 \frac{m}{s})^2}$

$S_2 = 183,26 N$.

Es sollen die beiden Auflagerkräfte berechnet werden.

2. Zerlegung der Kräfte mittels Trigonometrie

Die Zerlegung der Kräfte ist hier nicht notwendig, da nur Horizontal- und Vertikalkräfte existieren.

3. / 4. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung und Auflösung

Horizontale Gleichgewichtsbedingung: $\rightarrow \sum F_x = 0$

$A_H  = 0$

Da keine äußeren Horizontalkräfte existieren, ist auch die Lagerkraft $A_H$ gleich null. Diese ist somit nicht notwendig anzubringen.

Vertikale Gleichgewichtsbedingung $\uparrow \sum F_y = 0$

$-S_1 + + S_2 + A_v + B = 0$

$-248,94 N + 183,26 N + A_v + B = 0$

Es existieren zwei Unbekannte, weshalb das Momentengleichgewicht herangezogen werden muss.

Der Bezugspunkt kann nun entweder bei $A$ oder $B$ gesetzt werden. Wird dieser bei $A$ gesetzt, so fallen $A_h$ und $A_v$ aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt $A$ schneiden und es kann die Lagerkraft $B$ berechnet werden. Liegt der Bezugspunkt bei $B$, so fällt $B$ aus der Berechnung heraus und es kann $A_v$ berechnet werden ($A_H$ schneidet die Wirkungslinie des Bezugspunktes bei $B$, fällt also raus). Der Bezugspunkt wird nun bei $A$ gelegt. Es müssen nun alle Kräfte berücksichtigt werden, dessen Wirkungslinie nicht diesen Punkt schneidet. Die Stützkraft $S_1$ hat einen senkrechten Abstand zum Bezugspunkt von 2 m. D.h. man muss die Stützkraft $S_1$ parallel zu sich selbst um 2 m nach rechts verschieben, bis die Wirkungslinie von $S_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Als nächstes muss noch die Drehrichtung beachtet werden. Die Stützkraft $S_1$ drückt den Balken nach unten, nach rechts und dann nach oben (also GEGEN den Uhrzeigersinn) um den Bezugspunkt $A$. Das Vorzeichen muss also positiv sein. Genau so geht man auch mit der Kraft $S_2$ und der Kraft $B$ vor.

$\curvearrowleft{A} : S_1 \cdot 2m + B \cdot 4m + S_2 \cdot 5 m = 0$

Alle Momente drehen hier gegen den Uhrzeigersinn, werden also positiv.


Es kann nun die Lagerkraft $B$ bestimmt werden:

$B = \frac{-S_1 \cdot 2m - S_2 \cdot 5m}{4m} = \frac{-248,94 N \cdot 2m - 183,26 N \cdot 5 m}{4m} = -353,55 N$.

Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft $B$ nicht nach oben gerichtet ist (wie in der Grafik angenommen), sondern nach unten gerichtet. 


Es kann nun die Lagerkraft $A_v$ durch die obige vertikale Gleichgewichtsbedingung bestimmt werden:

$-248,94 N + 183,26 N + A_v + B = 0$

$A_v = 248,94 N - 183,26 N - B = 248,94 N - 183,26 N + 353,55 N= 419,23 N$. 

Die Lagerkraft $A_v$ kann auch bestimmt werden, indem der Bezugspunkt bei $B$ gesetzt wird:

$\curvearrowleft{B} : S_1 \cdot 6m - A_v \cdot 4m + S_2 \cdot 1m = 0$

$\small{A_v = \frac{S_1 \cdot 6m + S_2 \cdot 1m}{4m} = \frac{248,94 N \cdot 6m + 183,26 N \cdot 1m}{4m} = 419,23 N}$.

Es sind nun alle Lagerkräfte bekannt.