ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Technische Mechanik 1: Statik
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse

Resultierende ebener Kräftegruppen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man Kräfte zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann, wenn eine ebene Kräftegruppe vorliegt. 

Sind Kräfte gegeben, die sich nicht alle in einem einzigen Angriffspunkt schneiden, so liegt eine ebene Kräftegruppe vor. In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man diese gegebenen Kräfte zu einer einzigen resultierenden Kraft $R$ zusammenfassen kann. Hierfür muss der Betrag der Resultierenden, die Richtung der Resultierenden (Winkel) und die Lage der Resultierenden (Hebelarm) bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Resultierenden müssen zunächst die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden. 

Methode

 $ R_x = \sum F_{ix}, \;  R_y = \sum F_{iy} $          Bestimmung der Teilresultierenden


Zur Bestimmung des Betrags und der Richtung der Resultierenden verwendet man die bereits bekannten Gleichungen.

Methode

$\ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},$                      Betrag der Resultierenden

sowie

Methode

$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$                  Richtung der Resultierenden

Bestimmung des resultierenden Moments

Um den Hebelarm bestimmen zu können, also die Lage der Resultierenden, muss zunächst das resultierende Moment bestimmt werden. Dazu wählt man einen beliebigen Punkt als Bezugspunkt aus und bestimmt für alle gegebenen Kräfte das Moment:

Methode

$M_R^{(X)} = \sum M_i^{(X)}$                   Bestimmung des resultierenden Moments


Die Bestimmung des Hebelarms $h$ erfolgt durch die Gleichung:

Methode

$\ h = \frac{M_R^{(X)}}{R} $                    Hebelarm der Resultierenden

Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Resultierenden vom gewählten Bezugspunkt ausgehend.


Treten die folgenden zwei Fälle auf, so gilt:

1. $ R \not= 0 $ und $ M_R^{(X)} = 0$ : In diesem Fall ist $h = 0$ und die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet den Bezugspunkt $ X$ und es existieren keine Momente.

2. $ R = 0 $ und $ M_R^{(X)} \not= 0$: In diesem Fall liegen nur Momente vor und die Wahl des Bezugspunktes ist nicht mehr bedeutend für die Wirkweise der Momente. 

Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen

Beispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen
Beispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen

Beispiel

Gegeben sei ein gleichseitiges Sechseck, welches durch vier Kräfte $F_1$ und $F_2$ belastet wird. Die Kräfte $F_1$ haben den Betrag von 10 N, die Kräfte $F_2$ den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet sich ihre Lage?

 Zuerst sollte man wissen, wie sich in einem gleichseitigen Sechseck die Winkel verhalten:

gleichseitiges Sechseck
gleichseitiges Sechseck

Man kann ein gleichseitiges Sechseck in 6 gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Die Spitzen der Dreiecke (in der Mitte) müssen zusammen 360° ergeben. Das Dreieck selber muss insgesamt 180° ergeben. Da alle Seiten gleich lang sind, bedeutet dies auch, dass alle Winkel gleich sind. 

Nachdem dieser Sachverhalt klar ist, kann das Koordinatensystem eingezeichnet und die Kräfte in den Ursprung (parallel zu sich selbst) verschoben werden. Das Koordinatensystem wird dabei in den Bezugspunkt gelegt. Die Kräfte werden ebenfalls in den Bezugspunkt gelegt, wobei ihre Richtung beibehalten wird.

Beispiel: Koordinatensystem
Beispiel: Koordinatensystem
Berechnung der Teilresultierenden

Die Berechnung der Resultierenden in $x$- und $y$-Richtung erfolgt wie bereits in den vorherigen Kapiteln gezeigt:

$R_x = \sum F_{ix} = F_1 \cos (60°) + F_1 \cos (60°) + F_2 \cos (120°) + F_2 \cos (300°) $

$= 10 \cos (60°) + 10 \cos (60°) + 20 \cos (120°) + 20 \cos (300°) = 10 N$

$R_y = \sum F_{iy} = F_1 \sin (60°) + F_1 \sin (60°) + F_2 \sin (120°) + F_2 \sin (300°) $

$= 10 \sin (60°) + 10 \sin (60°) + 20 \sin (120°) + 20 \sin (300°) = 17,321 N$

Berechnung des Moments

Die Berechnung des Moments $M_R^{(A)}$ erfolgt durch

$M_R^{(A)} = \sum M_i^{(A)}$

Für die Berechnung der Momente der einzelnen Kräfte muss die Entfernung von ihrer ursprünglichen Lage zum Bezugspunkt $A$ berücksichtigt werden. Die Berechnung erfolgt so, dass die Kräfte solange parallel zu sich selbst verschoben werden, bis die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden. Da sich der Bezugspunkt in der Mitte des Sechsecks befindet und alle Seiten gleich lang sind, ist die Entfernung zu den einzelnen Kräften überall $L = 3m$. Unter Berücksichtigung der Drehrichtung (mit dem Uhrzeigersinn negativ, andernfalls positiv) ergibt sich folgende Berechnung:

$M_R^{(A)} = \sum M_i^{(A)} = 3 m \cdot F_1 - 3 m \cdot F_1 + 3 m \cdot F_2 + 3 m \cdot  F_2$

$ = 3 m \cdot 10 N - 3 m \cdot 10 N + 3 m \cdot 20 N + 3 m \cdot 20 N = 120 Nm$

Berechnung der Resultierenden 

Der Betrag der Resultierenden berechnet sich durch:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{10^2 + 17,321^2} = \sqrt{400} = 20 N$

Die Richtung berechnet sich durch (Winkel zwischen $R_x$ und $R$):

$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{17,321}{10} = 1,7321$

$\rightarrow \; \alpha = tan^{-1} (1,7321) = 60°$

Die Resultierende hat demnach einen Winkel von 60° zu $R_x$. Da $R_x$ auf der Horizontalen liegt, besitzt die Resultierende also einen Winkel von 60° zur Horizontalen.

Der Hebelarm der Resultierenden mit Bezug auf den Punkt $A$ ergibt sich aus:

$M_R^{(A)} = h \cdot R \; \rightarrow \; h = \frac{M_R^{(A)}}{R}$

$h = \frac{120 Nm}{20 N} = 6m$

Der Hebelarm ist hierbei so einzuzeichnen, dass eine 6m lange Linie ausgehend vom Bezugspunkt in einem 90°-Winkel zur Wirkungslinie von $R$ gezogen wird. Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand vom Bezugspunkt zur Resultierenden.

Video: Resultierende ebener Kraftsysteme

Video: Resultierende ebener Kräftegruppen

Wenn ein starrer Körper von einer ebenen Kräftegruppe belastet wird, möchte man letztlich wissen wie die zugehörigen Resultierenden wirken. Es folgt ein Anwendungsbeispiel.

Video: Resultierende ebener Kräftegruppen

Wenn ein starrer Körper von einer ebenen Kräftegruppe belastet wird, möchte man letztlich wissen wie die zugehörigen Resultierenden wirken. Es folgt ein Anwendungsbeispiel.

Video: Resultierende ebener Kräftegruppen

Wenn ein starrer Körper von einer ebenen Kräftegruppe belastet wird, möchte man letztlich wissen wie die zugehörigen Resultierenden wirken. Es folgt ein Anwendungsbeispiel.
Multiple-Choice
Bitte die richtigen Aussagen auswählen.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Resultierende ebener Kräftegruppen

  • Tim Lukas Neumann schrieb am 11.02.2015 um 12:12 Uhr
    Das Video ist leider immernoch fehlerhaft.
  • Jessica Scholz schrieb am 21.10.2014 um 09:14 Uhr
    Hallo RealLife, vielen Dank für den Hinweis. Die Videos werden in Kürze ausgetauscht. Die Vorgehensweise ist hoffentlich trotzdem deutlich geworden. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de-Team
  • RealLife schrieb am 20.10.2014 um 20:34 Uhr
    Hallo Jessica, bei der Berechnung der resultierenden Kraft wurde leider vergessen, die Wurzel zu ziehen. Der Betrag der Resultierenden ist daher die Wurzel aus 84,28 N, das sind 9,18 N. Entsprechend ist auch der Hebelarm der Resultierenden Kraft größer als im Video angegeben, nämlich 70,7 Nm /9,18 N = 7,70 m.
Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Resultierende ebener Kräftegruppen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 1: Statik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 1: StatikTechnische Mechanik 1: Statik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Technische Mechanik 1: Statik

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Technische Mechanik 1
    • Einleitung zu Kurs: Technische Mechanik 1
  • Grundlagen der Technischen Mechanik
    • Einleitung zu Grundlagen der Technischen Mechanik
    • Der Kraftbegriff
    • Eigenschaften der Kraft
    • Darstellung der Kraft
    • Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    • Das Wechselwirkungsgesetz der technischen Mechanik (Lex Tertia)
    • Dimensionen und Einheiten der technischen Mechanik
  • Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    • Einleitung zu Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    • Zentrales Kräftesystem
    • Kräftepolygon in der Ebene
    • Kommutativgesetz
    • Verschränktes Kräftepolygon
    • Bestimmung der Resultierenden
      • Einleitung zu Bestimmung der Resultierenden
      • Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
      • Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie
        • Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
        • Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    • Kräftegleichgewicht in der Ebene
      • Kräftegleichgewicht bei zwei Kräften
      • Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    • Kräftegleichgewicht im Raum
  • Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    • Einleitung zu Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten
    • Ebenes Kräftesystem
      • Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
      • Kräftepaare und Kräftepaarmomente
      • Bestimmung von Momenten
      • Resultierende ebener Kräftegruppen
      • Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    • Räumliches Kräftesystem
      • Räumliche Zusammensetzung von Kräften
  • Schwerpunkte
    • Einzelne parallele Kräfte
    • Kontinuierlich verteilte Kräfte
    • Flächenschwerpunkte
    • Übersicht: Flächen mit Schwerpunktlage und Flächeninhalt
    • Linienschwerpunkte
  • Lagerreaktionen
    • Definition von Lagern
    • Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke
    • Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    • Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    • Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
      • Einleitung zu Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke
      • Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
      • Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
  • Fachwerke
    • Einleitung zu Fachwerke
    • Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    • Aufbau eines Fachwerks
    • Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte
      • Rittersches Schnittverfahren
        • Einleitung zu Rittersches Schnittverfahren
        • Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
        • Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
      • Knotenpunktverfahren
        • Einleitung zu Knotenpunktverfahren
        • Bestimmung von Nullstäben
        • Beispiel: Knotenpunktverfahren
          • Einleitung zu Beispiel: Knotenpunktverfahren
          • 1. Bestimmung von Nullstäben
          • 2. Bestimmung der Lagerreaktionen
          • 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens
  • Schnittmethode und Schnittgrößen
    • Einleitung zu Schnittmethode und Schnittgrößen
    • Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke
      • Schnittgrößen am Balken
        • Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
        • Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
          • Einleitung zu Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
          • Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
          • Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
      • Schnittgrößen am Rahmen
        • Einleitung zu Schnittgrößen am Rahmen
        • Beispiel: Kippender Stuhl
      • Schnittgrößen am Bogen
    • Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    • Föppl-Klammer
  • Reibung und Haftung
    • Grundlagen der Reibung
    • Haftreibung
    • Gleitreibung
    • Seilreibung
  • 65
  • 22
  • 97
  • 209
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 20.05.2016:
    "Sehr gut"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 17.04.2016:
    " Perfekt!!!"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 10.04.2016:
    "nichts auszusetzen :D "

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 17.03.2016:
    "Sehr gut verständlich. :D"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 12.03.2016:
    "Top!! Brauche den Kurs hier zur Prüfungsvorbereitung eigentlich zur Auffrischung da alles bekannt. Lösungsansätze und vorgehen sehr simple erspart mir viel Zeit."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 23.02.2016:
    "Zum jetzigen Zeitpunkt ist alles sehr gut verständlich."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 09.02.2016:
    "sehr ausführlich und mit viel Liebe "

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 02.02.2016:
    "Sehr hilfreich. Ich besuche gerade die bauhandwerkerschule und habe bis jetzt immer Schwierigkeiten im Fach Statik gehappt. Habe jetzt in 2 Stunden mehr gelernt (und alles verstanden) als in 3 Monaten Unterricht. Ich werde diese Online Kurse auf jeden fall weiterempfehlen! "

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 27.01.2016:
    "Videos sind sehr ausführlich erklärt, Schritte sehr gut nachvollziehbar"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 14.01.2016:
    "guter Kurs !"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 09.01.2016:
    "läuft gut :D"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 06.01.2016:
    "Diesen Kurs finde ich bis jetzt ganz gut! Alles ist gut verdeutlicht! :)"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 13.12.2015:
    "Sehr gut. :)"

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 09.12.2015:
    "Ich fand es sehr gut, da es gute Beispiele gab und in den Videos ist alles sehr gut erklärt. Es ist alles verständlich und gut nachvollziehbar."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 08.12.2015:
    "Gut und übersichtlich erklärt "

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 02.12.2015:
    "Sehr guter Kurs, die Videos sind Top und auch die Aufgaben zwischendurch fördern das "Behalten" des Wissens und beugen einem "Vergessen" vor. Echt spitzenmäßiger Online Lernkurs."

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 14.05.2015:
    "sehr gut, "

  • Gute Bewertung für Technische Mechanik 1: Statik

    Ein Kursnutzer am 26.10.2014:
    "Echt Klasse! Es gibt einem ein gutes Gefühl und durch das erreichen von kleine Erfolgserlebnis, bin ich motiviert! "

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen