Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme

Ein starrer Körper ist unter der Wirkung ebener Kräftegruppen dann im Gleichgewicht, wenn gilt:

Anwendungsbeispiel 1: Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftegruppen

Beispiel: Gleichgewicht ebener Kräftegruppen

Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand von der Lagerkraft $F_L$ zum Bezugspunkt $X$ mit $a$ bezeichnet:

Der Bezugspunkt $X$ wurde gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, da der Hebelarm der Kraft $F_1$ somit null ist und in der Berechnung des Momentengleichgewichts nicht auftaucht (alternativ hätte man auch $F_2$ oder $F_L$ wählen können).

Die Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erfolgt durch:

$\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0$       (alternativ: $ \downarrow : -F_L + F_1 + F_2$)

Die Gleichgewichtsbedingung für die Momente ist:

$\stackrel{\curvearrowleft}{X} : a \cdot F_L - l \cdot F_2$

Einsetzen der Werte

$\uparrow : F_L - F_1 - F_2 = 0 \; \rightarrow F_L = F_1 + F_2$

$F_L = 10 N + 15 N = 25 N$

$\stackrel{\curvearrowleft}{X} : a \cdot F_L - l \cdot F_2$

$a = \frac{F_2}{F_L} \cdot l$

$a =  \frac{15 N}{25 N} \cdot 10 m = 6 m$

Grafische Zusammenfassung

Damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet, muss die Lagerkraft 25 N betragen und das Lager im Abstand von 6 Metern zum Bezugspunkt $X$ angebracht werden.

Anwendungsbeispiel 2: Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftegruppen

Beispiel (2): Gleichgewicht ebener Kräftegruppen

Als erstes wird das Freikörperbild gezeichnet, indem der Balken von den Wänden gelöst wird und die Kontaktstellen durch Kontaktkräfte ersetzt werden. Das Seil wird durchtrennt und wird durch die Seilkraft $S$ ersetzt. Außerdem wird die Gewichtskraft $G$ in der Mitte des Balkens (siehe Kapitel Schwerpunkt) angebracht:

Freikörperbild

Als nächstes wird das Koordinatensystem zur Bestimmung der Kräfte eingezeichnet. Es wird hier der Bezugspunkt $C$ (siehe Ausgangsgrafik) gewählt und die Kräfte parallel zu sich selbst bis zu diesem Punkt verschoben. Unter Berücksichtigung der Winkel ergbit sich folgende Skizze:

Die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung lautet:

$\rightarrow : W_1 \cos (0°) + S \cos (120°) + W_2 \cos (180°) + G \cos (270°) = 0$

verkürzt: $W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$


Die Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung lautet:

$\uparrow : W_1 \sin (0°) + S \sin (120°) + W_2 \sin (180°) + G \sin (270°) = 0$

verkürzt: $ S \sin (120°) - G = 0$

Berechnung der Abstände h

Als nächstes muss die Momentengleichgewichtsbedingung aufgestellt werden. Um ein Moment zu berechnen, ist immer die Entfernung von der ursprünglichen Lage hin zum Bezugspunkt notwendig. Dies geschieht, indem z.B. die Kontaktkraft $W_1$ parallel zu sich selbst nach oben verschoben wird, bis die Wirkungslinie den Bezugspunkt $C$ schneidet. Diesen Abstand gilt es zu berechnen. Gleiches gilt für die Kontaktkraft $W_2$, welche parallel zu sich selbst nach unten verschoben wird, bis die Wirkungslinie den Bezugspunkt $C$ schneidet sowie die Gewichtskraft $G$, welche parallel zu sich selbst nach links verschoben werden muss, bis seine Wirkungslinie $C$ schneidet. Zur besseren Übersicht wird in den nächsten Schritten die Berechnung des Abstandes für jede Kraft separat vorgenommen.

Dreiecksberechnung

Begonnen wird mit dem Abstand für das Moment der Kontaktkraft $W_1$. Hier ist deutlich zu erkennen, dass es sich dabei um ein Dreieck mit einem 90° Winkel und einem bekannten Winkel $\alpha = 45°$ handelt. Außerdem ist die Seite des Balkens (= Hypotenuse) mit 2a gegeben. Die Gegenkathete ist die vertikale Seite (gestrichelter Pfeil) und die Ankathete die gestrichelte Horizontale. Gesucht wird die Gegenkathete, also der Abstand von der ursprünglichen Lage von $W_1$ bis seine Wirkungslinie den Bezugspunkt $C$ durch Parallelverschiebung schneidet.

Die Dreiecksberechnung erfolgt durch:

$\sin (\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\rightarrow \; \text{Gegenkathete} = \sin (\alpha) \cdot \text{Hypotenuse}$

$ \text{Gegenkathete} (h_1) = \sin (45°) \cdot 2a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2a = \sqrt{2}a$  | $a = 1$

$h_1 = \sqrt{2}$

Für die Kontaktkraft $W_2$ erfolgt die Berechnung des Abstandes wie für die Kontaktkraft $W_1$. Die Gegenkathete (gestrichelter Pfeil) soll berechnet werden:

$\rightarrow \; \text{Gegenkathete} = \sin (\alpha) \cdot \text{Hypotenuse}$

$ \text{Gegenkathete} (h_2) = \sin (45°) \cdot 4a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 4a = \sqrt{2} \cdot 2a$  |$a = 1$

$h_2 = \sqrt{2} \cdot 2$

In diesem Fall wird die Kraft $G$ parallel nach links verschoben, damit ihre Wirkungslinie den Bezugspunkt $C$ schneidet. Die Berechnung erfolgt wieder wie oben:

$ \text{Gegenkathete} (h_G) = \sin (45°) \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a $  |$a = 1$

$h_G = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Aufstellung der Momentengleichgewichtsbedingung

Da nun alle Abstände ermittelt worden sind, kann die Momentengleichgewichtsbedingung aufgestellt werden:

$\stackrel{\curvearrowleft}{X} : W_1 \cdot h_1 + W_2 \cdot h_2 - G \cdot h_G = 0$

$W_1 \cdot \sqrt{2} + W_2 \cdot \sqrt{2}2 - G \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Berechnung der Kräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen

Die Seilkraft kann unmittelbar aus der Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung berechnet werden:

$ S \sin (120°) - G = 0 $        mit $ \sin (120°) = \sqrt{3}/2$

$ S = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 11,547 N$ 

Die Kontaktkraft $W_2$ wird ermittelt, indem als erstes die Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung nach $W_1$ aufgelöst und dann in die Momentengleichgewichtsbedingung eingesetzt wird:

$W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$

$W_1 = -S \cos (120°) + W_2$

Einsetzen von $ S = 11,547 N$ 

$W_1 = -11,547 \cdot \cos (120°) + W_2$      mit $\cos (120°) = -\frac{1}{2}$

$W_1 = -11,547 \cdot -\frac{1}{2} + W_2$

$W_1 = 5,7735 + W_2$

Einsetzen von $W_1$ in die Momentengleichgewichtsbedingung zur Berechnung von $W_2$:

$W_1 \cdot \sqrt{2} + W_2 \cdot \sqrt{2}2 - G \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$(5,7735 + W_2) \cdot \sqrt{2} + W_2 \cdot \sqrt{2}2 - G \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$\sqrt{2} (5,7735 + W_2 + 2 W_2) = G \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $     | : $\sqrt{2}a$

$5,7735 + 3W_2 = G \cdot \frac{1}{2}$     

$3 W_2 = G \cdot \frac{1}{2} - 5,7735$                           | $G = 10$

$3 W_2 = 10 \cdot \frac{1}{2} - 5,7735$                          | : $3$

$W_2 = -0,2578$

Die Kontaktkraft $W_1$ kann nun direkt ermittelt werden aus der Gleichgewichtsbedingung der $x$-Richtung durch einsetzen von $S$ und $W_2$:

$W_1 + S \cos (120°) - W_2 = 0$

$W_1 = -S \cos (120°) + W_2$

$W_1 = -11,547 \cdot -\frac{1}{2} - 0,2578$

$W_1 = 5,5157$