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Technische Mechanik 1: Statik - Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke

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Technische Mechanik 1: Statik

Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke

mehrteilige Tragwerke sind immer dann gegeben, wenn diese aus mehr als einem starren Körper bestehen. Verbunden sind diese über Verbindungselemente, die Kräfte und Momente übertragen können. Ein simples Beispiel aus dem Alltag stellt der Zollstock dar. Zwar wird man einen Zollstock nie als Tragwerk einsetzen, dennoch eignet sich dieser mit seinen einzelnen Gelenken zur Veranschaulichung. 

Skizze Zollstock
Skizze Zollstock


Im Gegensatz zu einteiligen Tragwerken, erfordern mehrteilige Tragwerke eine höhere Anzahl von Auflagekräften und Momenten. Die Verbindung zwischen den starren Körper gilt es zudem auf Verbindungsreaktionen $ v $ zu untersuchen. Dieser Wert kann im ebenen Fall zwischen $ v = 1 $ und $ v = 3 $ liegen. Der Pendelstab kann z.B. nur eine Kraft in Längsrichtung übertragen.

Pendelstab
Pendelstab


Anders verhält es sich bei einem Gelenk als Verbindungselement. Hier können Kräfte sowohl in horizontaler, als auch vertikaler Richtung übertragen werden. 

Gelenk
Gelenk


Zur Bestimmung der Reaktionen in den Lagern und in den vorliegenden Verbindungselementen bedient man sich dem Schnittprinzip. Hierbei entfernt man neben den Lagern auch alle Verbindungselemente und betrachtet jeden starren Körper für sich getrennt. Man spricht in diesem Fall von Teilsystemen. In der Freihandskizze zeichnet man nun alle auf den jeweils starren Körper wirkenden Lager- und Verbindungsreaktionen ein, wie es bereits in den oberen Skizzen geschehen ist. Sind alle Teilkörper voneinander getrennt, ist es mit den bereits erlernten Techniken ein Einfaches die auftretenden Reaktionen zu bestimmen. 

Hierzu stellt man für jeden Teilkörper die zugehörigen drei Gleichgewichtsbedingungen auf.

Existiert ein Tragwerk aus $ n $ miteinander verbundenen Teilsystemen, so stehen im ebenen Fall insgesamt $ 3 \cdot n \ $ Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung um alle Lager- und Verbindungsreaktionen $ r + v \ $ zu bestimmen.

Merke

Man erhält folgende Formel: $ r + v = 3 \cdot n $.

Mehrteilige Tragwerke
Mehrteilige Tragwerke

Betrachtet man die obige Skizze, so ist ersichtlich, dass zwei Teilsysteme [$ n = 2 $] vorliegen. Das Gesamtsystem liegt auf einem dreiwertigen Lager $ A_1$ (Einspannung) und einem einwertigen Lager $ A_2 $ (Pendel), die zusammen vier Lagerreaktionen [$ r = 3 + 1 $] besitzen. Das Gelenk $ G $ zwischen den Teilsystemen kann zwei Kräfte [$ v = 2 $] übertragen.

Durch Einsetzen in die obige Formel erhält man:

$ r + v = 3 \cdot n \rightarrow 4 + 2 = 3 \cdot 2  \rightarrow 6 = 6 $

Das Gesamtsystem ist somit statisch bestimmt, da für sechs gesuchte Lager- und Verbindungsreaktionen auch sechs Gleichungen zur Verfügung stehen.  

Zur Vertiefung des bisher Erlernten werden in den zwei anschließenden Abschnitten mehrteilige Tragwerke auf ihre statische Bestimmtheit untersucht.