Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke

Im Gegensatz zu Tragwerken in der Ebene, besitzen räumliche Tragwerke sechs Freiheitsgrade. Eine Kraftwirkung in Richtung der x-, y-, z-Achse und jeweils eine Drehung um jede dieser Achsen. Auch hier kann die Bewegungsfreiheit durch Anbringen von Lagern, welche das räumliche Tragwerk mit der Umgebung verbinden, reduziert werden. Auch hier wird das Lager nach seiner Wertigkeit kategorisiert, jedoch im Gegensatz zu ebenen Tragwerken [ $ r = 3 $] liegt der maximale Wert bei $ r = 6 $. 

Statische Bestimmtheit liegt vor, wenn für das räumliche Tragwerk die Lagerreaktionen anhand von sechs Gleichgewichtsbedingungen gelöst werden können. Die Vorgehensweise zur Bestimmung gleicht hier dem Freischneiden ebener Tragwerke. Drei der Gleichgewichtsbedingungen betreffen die Kraftkomponenten in x-, y- und z-Richtung. Die verbleibenden drei Gleichgewichtsbedingungen beschreiben die Momente um die jeweilige Achse von x, y und z: 

Kraftkomponenten

$\sum F_{ix} = 0 $

$\sum F_{iy} = 0 $

$\sum F_{iz} = 0 $

Momente

$ M_{ix}^{(P)} = 0 $

$ M_{iy}^{(P)} = 0 $

$ M_{iz}^{(P)} = 0 $

$\text{[P = Punkt der Einspannung/ des Lagers]} $

Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen Tragwerken

(a) Zunächst sind die Lagerreaktionen zu prüfen. Es sind zwei Lager gegeben. Das Lager $A$, welches ein Loslager darstellt und das Lager $B$, welches ein Festlager darstellt. Das Loslager überträgt Kräfte senkrecht zur Kurbel (zwei Kräfte) und das Festlager überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen (drei Kräfte). Es existieren demnach fünf Lagerkräfte. Es stehen zur Berechnung der Lagerkräfte sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Demnach handelt es sich hierbei um eine statische Bestimmtheit, da aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen die Kräfte bestimmt werden können. 

(b) Für die Bestimmung der Lagerkräfte und der Kraft $F$ muss zunächst der Freischnitt erfolgen:

In der obigen Grafik ist das $x,y,z$-Koordinatensystem eingeführt worden und die Lagerkräfte sowie die Abmessungen eingezeichnet worden. Das Lager $A$ überträgt nur Kräfte senkrecht zur Kurbel, d.h. keine Kraft in $x$-Richtung (da dies eine parallele Kraft zur Kurbel darstellen würde). Das Lager $B$ hingegen überträgt Kräfte in alle drei Raumrichtungen. Die Richtungen der Lagerkräfte werden zunächst so wie eingezeichnet angenommen. Resultieren am Ende positive Werte, so sind die Richtungen der Lagerkräfte korrekt angenommen worden, resultieren negative Werte, so sind die Richtungen genau entgegengesetzt einzuzeichnen. An dem Rad hängt das Gewicht mit der Masse $m$. Die Gewichtskraft wird bestimmt durch Masse mal Erdbeschleunigung. Da die Masse $m$ und die Erdbeschleunigung bekannt sind, kann die Gewichtskraft bestimmt werden zu:

$G = m \cdot g = 150 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 1.471,5 N $

Es kann nun mit der Bestimmung der Lagerkräfte und der Kraft $F$ begonnen werden, indem die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden:

$\sum F_x = 0$:

$\sum F_y = 0$:

$-A_y - B_y = 0$

Die Kräfte zeigen in negative $y$-Richtung, deswegen müssen diese mit einem negativen Vorzeichen in die Berechnung eingehen.

$\sum F_z = 0$:

$-F + A_z + B_z - G = 0$

Aus den oben gegebenen Gleichgewichtsbedingungen ist es nicht möglich die Lagerkräfte zu bestimmen, deswegen werden die Momentengleichgewichtsbedingungen herangezogen. Man wählt denjenigen Punkt als Bezugspunkt, an welchem die meisten Kräfte angreifen. In diesem Fall also das Lager $B$ mit den drei Lagerkräften $B_x$, $B_y$ und $B_z$. Die Bestimmung der einzelnen Momente in $x$-, $y$- und $z$-Richtung soll mithilfe der nachfolgenden Grafik veranschaulicht werden:

Momentengleichgewicht bezüglich der x-Achse

Nachdem der Bezugspunkt gewählt worden ist, legt man sich das Koordinatensystem (in Rot) genau durch diesen Bezugspunkt. Es wird nun zunächst das Momentengleichgewicht um den Bezugspunkt $B$ in $x$-Richtung bestimmt. Dabei wird wie folgt vorgegangen: alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $x$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $x$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $x$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $x$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. Der Hebelarm ist dabei der senkrechte Abstand der betrachteten Kraft hin zur $x$-Achse. Die Kraft wird also solange parallel zu sich selbst verschoben, bis die Wirkungslinie der Kraft die rote $x$-Achse schneidet. Dabei gilt:

$M_x^B = 0$:

$ G \cdot 0,15 m - F \cdot \cos(35°) \cdot 0,5 m = 0$

mit $G =  1.471,5 N $:

Die Berechnung des Hebelarms für die Kraft $F$ hin zur $x$-Achse ist wie folgt bestimmt worden:

Die Kraft $F$ weist einen senkrechten Abstand zur $x$-Achse auf (blaue Linie), welcher nicht bekannt ist. Dieser kann aber mittels Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden. Gegeben ist die Abmessung $b = 0,5m$ (Hypotenuse) und der Winkel $\alpha = 35°$. Die blaue Linie ist der senkrechte Abstand der Kraft $F$ (Hebelarm) und stellt die Ankathete dar. Die folgende Formel gilt:

$\cos (35°) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{0,5 m}$

Umstellen nach der Ankathete:

$\text{Ankathete} = \cos(35°) \cdot 0,5m$

Dies ist also der Hebelarm der Kraft $F$ zur $x$-Achse. Die Bestimmung der Vorzeichen erfolgt bei der dreidimensionalen Berechnung wie folgt: Die Kraft $F$ führt zu einer Rechtsdrehung um die $x$-Achse, die Kraft $G$ hingegen zu einer Linksdrehung um die $x$-Achse.

Momentengleichgewicht bezüglich der y-Achse

Es wird nun als nächstes das Momentengleichgewicht um den Bezugspunkt $B$ in $y$-Richtung bestimmt. Dabei wird wie folgt vorgegangen: Alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $y$-Achse schneiden werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $y$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $y$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $y$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. 

$M_y^B = 0$:

$A_z \cdot (0,8m + 0,5m) - G \cdot 0,5m - F \cdot (0,7m + 0,8m + 0,5m) = 0$

Die Gewichtskraft $G$ und die Kraft $F$ drehen rechts um die $y$-Achse, die Kraft $A_z$ hingegen links um die $y$-Achse.

Momentengleichgewicht um die z-Achse

Es wird nun als nächstes das Momentengleichgewicht um den Bezugspunkt $B$ in $z$-Richtung bestimmt. Dabei wird wie folgt vorgegangen: Alle Kräfte, dessen Wirkungslinie bereits die rote $z$-Achse schneiden, werden nicht weiter berücksichtigt, da diese Kräfte keinen Hebelarm bezüglich der $z$-Achse aufweisen. Außerdem werden alle Kräfte, die in $z$-Richtung zeigen vernachlässigt, da diese nicht um die $z$-Achse drehen können. Alle anderen Kräfte werden mit ihrem Hebelarm berücksichtigt. 

$M_z^B = 0$:

Bestimmung der restlichen Kräfte

Aus der Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung hat sich ergeben:

$\rightarrow -A_y = B_y$

Es fehlt noch die Lagerkraft $B_z$. Diese kann aus der Gleichgewichtsbedingung in $z$-Richtung bestimmt werden:

$-F + A_z + B_z - G = 0$

$B_z = 538,91 N - 1.395,05 N + 1.471,5 N = 615,36 N$

Zusammengefasst ergibt sich:

$A_y = 0$

$A_z = 1.395,05 N$

$B_x = 0$

$B_y = 0$

$B_z = 615,36 N$

$F = 538,91 N$.