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Es ist immer sinnvoll ein Optimierungsproblem in Standardform (Maximierungsproblem, kleiner/gleich Ungleichungen, Nichtnegativitätsbedingung) vorliegen zu haben. Die grafische Lösung kann in diesem Fall dann so vorgenommen werden, wie es in den vorherigen Abschnitten gezeigt wurde. Aber auch für die Aufstellung des in den folgenden Abschnitten aufgeführten Simplex-Algorithmus ist das Vorliegen der Standardform sinnvoll. In diesem Abschnitt wird ausführlich beschrieben, wie man ein Optimierungsproblem in die Standardform umformt.
Es existieren vier mögliche Gründe für die Abweichung von der Standardform
- Variablen ohne Nichtnegativitätsbedingung,
- Gleichheitsbedingungen statt Ungleichheitsbedingungen und
- Größer/gleich-Ungleichungen statt Kleiner/gleich-Ungleichungen.
Es ist möglich lineare Optimierungsprobleme in denen diese Fälle auftreten durch einfache Operationen so umzuformen, dass am Ende die Standardform resultiert:
Methode
Umformung in Standardform:
- Ersetzen von $x_j$, welche keiner Nichtnegativitätsbedingung unterliegt, durch $x_j^+ \ge $ und $x_j^- \ge $, wobei gilt $x_j = x_j^+ - x_j^-$.
- Eine Gleichung $a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden
$a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n \le b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n \le -b_i$. - Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$.
Im Folgenden werden die einzelnen Schritte anhand eines Beispiels ausführlich aufgezeigt.
Beispiel: Umformung in Standardform
Beispiel
Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem:
$f(x_1, x_2) = 5x_1 + 10 x_2 $ $\rightarrow$ max!
u.d.N
$x_1 + x_2 = 8$
$x_1 - 2 x_2 \le 4$
$x_1 \ge 0$
Geben Sie das lineare Optimierungsproblem in Standardform an!
Mittels der oben angegeben Operationen kann nun das lineare Optimierungsproblem in die Standardform überführt werden.
1. Aus einer Gleichung zwei Ungleichungen machen (siehe Schritt 2):
$x_1 + x_2 \le 8$
$-x_1 - x_2 \le -8$
2. Die Gleichung $x_1 - 2 x_2 \le 4$ ist bereits in Standardform gegeben, bleibt also bestehen.
3. Für $x_2$ ist keine Nichtnegativitätsbedingung gegeben, d.h. es müssen zwei neue Variablen eingeführt werden (siehe Schritt 1):
$x_2^+ \ge 0$ und $x_2^- \ge 0$
Für diese Variablen gilt:
$x_2 = x_2^+ - x_2^-$
Merke
Es ist natürlich auch möglich statt der Variablen $x_2^+$ und $x_2^-$ die Variablen $x_3$ und $x_4$ oder auch $x_2$ und $x_3$ einzuführen. Dann gilt:
$x_2 = x_3 - x_4$ bzw. $x_2 = x_2 - x_3$
und wird dann eingesetzt.
Es muss nun überall für $x_2 = x_2^+ - x_2^-$ eingesetzt werden:
$f(x_1, x_2) = 5x_1 + 10 x_2^+ - 10x_2^- $ $\rightarrow$ max!
u.d.N
$x_1 + x_2^+ - x_2^- \le 8$
$-x_1 - x_2^+ + x_2^- \le -8$
$x_1 - 2 x_2^+ + 2x_2^- \le 4$
$x_1, x_2^+, x_2^- \ge 0$
Die Standardform ist nun gegeben. Das grafische Lösungsverfahren kann hier nicht angewandt werden, weil statt zwei nun drei Entscheidungsvariablen gegeben sind.
Merke
Vorschau: Zur Lösung dieses Optimierungsproblems kann der duale Simplexalgoritmus oder die Big-M-Methode angewandt werden. Der primale Simplexalgorithmus kann hier nicht angewandt werden, da negative Werte auf der rechten Seite vorhanden sind. Die hier genannten Verfahren werden in den nachfolgenden Abschnitten ausführlich erläutert.
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