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Operations Research 2 - Umformung in die Standardform

Kursangebot | Operations Research 2 | Umformung in die Standardform

Operations Research 2

Umformung in die Standardform

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Für die in den vorherigen beiden Abschnitten aufgeführten Simplexalgorithmen wird die Standardform benötigt. In diesem Abschnitt wird aufgezeigt, wie man ein gegebenes Optimierungsproblem in Standardform umformen kann. 

Es existieren vier mögliche Gründe für die Abweichung von der Standardform

  1. Variablen ohne Nichtnegativitätsbedingung,

  2. Gleichheitsbedingungen statt Ungleichheitsbedingungen und

  3. Größer/gleich-Ungleichungen statt Kleiner/gleich-Ungleichungen.

Die Umformung kann wie folgt durchgeführt werden:

Methode

Umformung in Standardform:

  1. Ersetzen von $x_j$, welche keiner Nichtnegativitätsbedingung unterliegt, durch $x_j^+ \ge $ und $x_j^- \ge $, wobei gilt $x_j = x_j^+ - x_j^-$.

  2. Eine Gleichung $a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n = b_i$ kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden
    $a_{i1}x_1 + ... + a_{in} x_n \le b_i$ und $-a_{i1}x_1 - ... - a_{in} x_n \le -b_i$.

  3. Aus einer $\ge$-Ungleichung wird eine $\le$-Ungleichung durch Multiplikation der gesamten Ungleichung mit $-1$.


Im Folgenden werden die einzelnen Schritte anhand eines Beispiels ausführlich aufgezeigt.

Anwendungsbeispiel: Umformung in Standardform

Beispiel

Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem:

$f(x_1, x_2) = 5x_1 + 10 x_2 $    $\rightarrow$  max!

u.d.N

$x_1 +  x_2 = 8$

$x_1 - 2 x_2 \le 4$

$x_1 \ge 0$

Geben Sie das lineare Optimierungsproblem in Standardform an!

Mittels der oben angegeben Operationen kann nun das lineare Optimierungsproblem in die Standardform überführt werden. 


1. Aus einer Gleichung zwei Ungleichungen machen (siehe Schritt 2):

$x_1 +  x_2 \le 8$

$-x_1 -  x_2 \le -8$

2. Die Gleichung $x_1 - 2 x_2 \le 4$ ist bereits in Standardform gegeben, bleibt also bestehen.

3. Für $x_2$ ist keine Nichtnegativitätsbedingung gegeben, d.h. es müssen zwei neue Variablen eingeführt werden (siehe Schritt 1):

$x_2^+ \ge 0$  und   $x_2^- \ge 0$


Für diese Variablen gilt:

$x_2 = x_2^+ - x_2^-$

Merke

Es ist natürlich auch möglich statt der Variablen $x_2^+$ und $x_2^-$ die Variablen $x_3$ und $x_4$ oder auch $x_2$ und $x_3$ einzuführen. Dann gilt:

$x_2 = x_3 - x_4$   bzw.  $x_2 = x_2 - x_3$

und wird dann eingesetzt. 

Es muss nun überall für $x_2 = x_2^+ - x_2^-$ eingesetzt werden:

$f(x_1, x_2) = 5x_1  + 10 x_2^+ - 10x_2^- $    $\rightarrow$  max!

u.d.N

$x_1 +  x_2^+ - x_2^- \le 8$

$-x_1 -  x_2^+ + x_2^- \le -8$

$x_1 - 2 x_2^+ + 2x_2^- \le 4$

$x_1, x_2^+, x_2^- \ge 0$

Die Standardform ist nun gegeben. Das grafische Lösungsverfahren kann hier nicht angewandt werden, weil statt zwei nun drei Entscheidungsvariablen gegeben sind.

Merke

Vorschau: Zur Lösung dieses Optimierungsproblems kann der duale Simplexalgoritmus oder die Big-M-Methode angewandt werden. Der primale Simplexalgorithmus kann hier nicht angewandt werden, da negative Werte auf der rechten Seite vorhanden sind. Die hier genannten Verfahren werden in den nachfolgenden Abschnitten ausführlich erläutert.

Video: Umformung in die Standardform

Video: Umformung in die Standardform