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Operations Research - Sensitivitätsanalyse

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Operations Research

Sensitivitätsanalyse

Unter der Sensitivitätsanalyse versteht man im Allgemeinen die Variation von Größen des linearen Optimierungsproblems, um die Wirkung einer solchen Modifikation auf die Lösung des linearen Problems zu untersuchen. Bei der hier verwendeten Sensitivitätsanalyse wird immer eine Größe unter Konstanthaltung aller anderen Größen geändert, um herauszufinden, wie sich diese Änderung auf die Optimallösung des Problems auswirkt.

In welchem Bereich können die Koeffizienten variiert werden, ohne dass die optimale Lösung ihre Optimalitätseigenschaft verliert?

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Die Optimalitätseigenschaft bleibt erhalten, wenn bei Variation der Koeffizienten die Optimallösung im Endtableau nicht verändert wird.

Das bedeutet also, dass die Optimallösung dann ihre Optimalitätseigenschaft verliert, wenn es notwendig ist einen weiteren Simplexschritt durchzuführen, um wieder zur Optimallösung zu gelangen, wenn diese bei der vorgenommenen Änderung nicht mehr vorliegt.

Die zu variierenden Größen sind vor allem die Koeffizienten der rechten Seite sowie die Koeffizienten der Zielfunktion. Aber auch die Koeffizienten der Nebenbedingungen können variiert werden. Allerdings unterscheiden sich die Koeffizienten der Nebenbedingungen von den Koffizienten der rechten Seite und der Zielfunktion dadurch, dass sie innerhalb des Tableaus bewegt werden. Hingegen werden die Koeffizienten der rechten Seite und der Zielfunktion nicht bewegt. Das bedeutet also, dass die Sensitivitätsanalyse für die Koeffizienten der Nebenbedingungen komplizierter ist, da während der Simplexschritte die Variablen von der Basis in die Nichtbasis wechseln.

Im Weiteren werden für die Sensitivitätsanalyse die Koeffizienten der rechten Seite und der Zielfunktion herangezogen. Es soll gezeigt werden, dass es möglich ist diese Koeffizienten zu variieren, ohne dass die Lösung des Problems seine Optimalitätseigenschaft verliert. Für die Anwendung der Sensitivitätsanalyse wird immer das Ausgangstableau und das Endtableau (Optimaltableau) benötigt. 

Es sei das folgende lineare Optimierungsproblem gegeben:

$f(x_1, x_2, x_3) = -400x_1 + 780x_2 + 1.250 x_3 $   $\rightarrow $ max!


u.d.N.

$32 x_1 + 42 x_2 + 20 x_3 \le 1.300$

$-10 x_1 + 15 x_2 + 25 x_3 \le 1.000$

$8x_1 + 8x_2 + 5 x_3 \le 300$

$x_1, x_2, x_3 \ge 0$


Es handelt sich hierbei um ein in Standardform gegebenes Optimierungsproblem. Die Werte der rechten Seite sind alle positiv, weshalb hier der primale Simplexalgorithmus angewandt werden kann. Hierfür muss das Problem zunächst in Normalform umgeformt werden:

$f(x_1, x_2, x_3) = -400x_1 + 780x_2 + 1.250 x_3 $   $\rightarrow $ max!


u.d.N.

$32 x_1 + 42 x_2 + 20 x_3   + x_4                       \le 1.300$

$-10 x_1 + 15 x_2 + 25 x_3           + x_5              \le 1.000$

$8x_1 + 8x_2 + 5 x_3                             + x_6    \le 300$

$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \ge 0$

Danach kann das Problem in das Starttableau eingetragen werden:

Sensitivtitätsanalyse Ausgangstableau

Die Koeffizienten der Zielfunktion gehen mit den umgekehrten Vorzeichen in das Tableau ein. Die Variablen, die in der Zielfunktion einen Koeffizienten größer Null aufweisen, stellen zu Beginn Nichtbasisvariablen dar. Alle anderen Variablen stellen zu Beginn Basisvariablen dar. Da die Werte der rechten Seite alle positiv sind, wird hier das primale Simplexverfahren angewandt. Es liegt die Optimallösung vor, wenn alle Werte der Zielfunktionszeile positiv sind. Das Verfahren soll hier nicht angewandt werden, sondern sofort das Endtableau aufgestellt werden:

Sensitivtitätsanalyse Endtableau

Es soll in den folgenden Abschnitten gezeigt werden, wie man die Sensitivitätsanalyse für die Werte der rechten Seite $b_i$ und für die Werte der Zielfunktion $c_j$ durchführt.