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Operations Research - Sonderfälle bei Optimierungsmodellen

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Operations Research

Sonderfälle bei Optimierungsmodellen

Es werden im Folgenden die Sonderfälle bei linearen Optimierungsmodellen aufgezeigt.

  1.  Keine zulässige Lösung

    Das pimale lineare Optimierungsmodell besitzt keine zulässige Lösung. Es handelt sich hierbei um eine primale Unzulässigkeit. Grund dafür sind die Nebenbedingungen, welche nicht widerspruchsfrei sind. Dieser Sonderfall tritt beim dualen Simplexalgorithmus auf. Und zwar bei Auswahl der Pivotspalte. Nachdem die Pivotzeile gewählt worden ist (kleinster negativer Wert der rechten Seite), müssen innerhalb der ausgewählten Pivotzeile Werte kleiner als Null vorhanden sein. Ist dies nicht der Fall besitzt das primale Problem keine zulässige Lösung. Das dazu duale Problem besitzt dann keine optimale Lösung.

    Der Sonderfall tritt bei der Big-M-Methode ein, wenn die Zielfunktionszeile positive Werte aufweist, aber immer noch künstliche Variablen $y_i$ in der Basis befinden.

  2. Keine optimale Lösung

    Das primale lineare Optimierungsmodell besitzt keine optimale Lösung. Dieser Sonderfall tritt beim primalen Simplexalgorithmus auf. Bei der Auswahl der Pivotzeile. Nachdem die Pivotspalte gewählt worden ist (kleinster negativer Wert der Zielfunktionszeile), müssen innerhalb der ausgewählten Pivotspalte Werte größer als Null vorhanden sein. Ist dies nicht der Fall, so besitzt das primale Problem keine optimale Lösung. Das dazu duale Problem besitzt dann keine zulässige Lösung.

  3. Mehrere optimale Lösungen

    Es existieren mehrere optimale Lösungen für das primale Problem. Dieser Sonderfall tritt im Optimaltableau auf (also nach Anwendung des primalen Simplexverfahrens). Existiert mindestens eine Nichtbasisvariable, welche in der Zielfunktionszeile den Wert Null aufweist, so existieren mehrere optimale Lösungen. Würde man diese Nichtbasisvariable in die Basis aufnehmen, so erhielte man eine weitere optimale Lösung. Diesen Sonderfall bezeichnet man auch als duale Degeneration, weil für das duale Problem eine Basisvariable den Wert Null annimmt (rechte Seite für diese Variable nimmt den Wert null an).

  4. Redundante Nebenbedingung

    Eine Kleiner/Gleich-Nebenbedingung ist dann redundant (überflüssig), wenn eine weitere Kleiner/Gleich-Nebenbedingung existiert, welche die selbe linke Seite aufweist, aber eine kleinere rechte Seite. 

    Beispiel: Die Nebenbedingung $2x_1 + x_2 \le 20$ ist redundant, wenn zusätzlich die Nebenbedingung $2x_1 + x_2 \le 10$ gegeben ist. 

    Eine Größer/Gleich-Nebenbedingung ist dann redundant, wenn eine weitere Größer/Gleich-Nebenbedingung exsitiert, welche die selbe linke Seite aufweist, aber eine größere rechte Seite. 

  5. Primale Degeneration

    Eine primale Degeneration liegt dann vor, wenn sich im $\mathbb{R}^n$ mehr als $n$ Restriktionen in einem Punkt schneiden (grafisch erkennbar). Das bedeute also, bei Vorliegen von $n = 2$ Variablen, schneiden sich mehr als $2$ Restriktionen in einem Punkt. Für das primale Problem erkennt man die primale Degeneration Im Optimaltableau (nach Anwendung des primalen Simplexalgorithmus). Existieren dort ein oder mehere Basisvariablen mit dem Wert Null (rechte Seite), so liegt die primale Degenration vor. Für das duale Problem bedeutet dies mehrere optimale Lösungen.