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Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems

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Anwendungsbeispiel: Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms

Beispiel

Ein Osnabrücker Traditionsunternehmen produziert  zwei Sorten von Torten. Eine einfache Variante  $ x_1 $ und eine Premiumvariante $ x_2 $ . Beide Torten durchlaufen eine Maschine, welche eine maximale Kapazität von 3.750 ZE besitzt.  Die Einfachvariante durchläuft die Maschine in 0,5 ZE, die Permiumvariante in 1,25 ZE.  Die Kosten der Permiumvariante belaufen sich auf 1,5 €/Stück, die Kosten der Premiumtorte auf 2,5 €/Stück. Am Markt verlangt das Unternehmen jeweils 3,5 € für die Einfachvariante und 12,5 € für die Premiumvariante. Es können jedoch nur 3.000 Stück der Einfachvariante und 2.500 der Premiumtorte abgesetzt werden. Die Gesamtnachfrage an Torten dieses Unternehmens liegt bei 5.000 Stück.

Im welchem Umfang sollte das Unternehmen welche Torte produzieren (wie sieht das optimale Produktionsprogramm aus)?

Zur Lösung diese Problems empfiehlt sich ein schrittweises Vorgehen. 

1. Bestimmung des Gesamtdeckungsbeitrags

Um die Zielfunktion aufstellen zu können, muss der Deckungsbeitrag bestimmt werden. Das Ziel des Unternehmens ist es nämlich den Deckungsbeitrag zu maximieren. Der Deckungsbeitrag berechnet sich indem die variablen Kosten der Torten von dem Preis der Torten subtrahiert werden:

DB = Preis - variable Kosten.

Der Deckungsbeitrag der einfachen Variante ist $ DB_1 = (3,5 - 1,5)x_1 = 2 x_1 $

Der Deckungsbeitrag der Premiumvariante ist $ DB_2 = ( 12,5 - 2,5) x_2 = 10 x_2 $ 

Daraus ergibt sich ein Gesamtdeckungsbeitrag von $ DB = 2 x_1 + 10 x_2 $

Mit dem Gesamtdeckungsbeitrag (welcher maximiert werden soll) haben wir die Zielfunktion für das Unternehmen aufgestellt. 

2. Bestimmung der Produktionskapazität

$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ 

Es stehen insgesamt für die beiden Torten 3.750 ZE an Maschinenkapazität zur Verfügung. Die Einfachvariante benötigt 0,5 ZE und die Permiumvariante 1,25 ZE pro Stück für einen Durchlauf auf der Maschine.

3. Nichtnegativitätsbedingung

$ x_1, x_2 \ge 0 $

Die Nichtnegativitätsbedingung besagt, dass keine negativen Produktionsmengen generiert werden können.

4. Bestimmung der Absatzrestriktion

Die Absatzrestriktion der einfachen Torte $ x_1 \le 3.000 $

Es können maximal 3.000 Stück der Einfachvariante auf dem Markt abgesetzt werden.

Die Absatzrestriktion der Premiumtorte $ x_2 \le 2.500 $ 

Es können maximal 2.500 Stück der Premiumvariante auf dem Markt abgesetzt werden.

5. Bestimmung der Nachfragerestriktion

$x_1 + x_2 \le 5.000$

Es gibt insgesamt eine Nachfrage nach den beiden Torten dieses Unternehmens in Höhe von maximal 5.000 Stück.

Zusammenfassende Aufstellung des Linearen-Programmierungs-Modell

Zielfunktion $ DB = 2x_1 + 10 x_2 \rightarrow \text{max} $

Nebenbedingungen

$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ 

$ x_1 \le 3.000 $

$ x_2 \le 2.500$

$x_1 + x_2 \le 5.000$ 

$ x_1, x_2 \ge 0 $

Graphische Lösung

Das optimale Produktionsprogramm lässt sich grafisch lösen. Die einzelnen Restriktionen werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und dann mithilfe der Zielfunktion der Punkt gesucht, der gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt.

Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
1. Einzeichnen der Restriktionen

Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Produktionskapazität (in rot eingezeichnet) hat die Form:

$ 0,5 x_1 + 1,25 x_2 \le 3.750 $ 

Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 = 0$ gesetzt und dann nach $x_1$ aufgelöst:

$ 0,5 x_1 + 0 \le 3.750 \; \rightarrow \; x_1 = 7.500$

Um $x_2$ einzuzeichnen wird $x_1 = 0$ gesetzt und dann nach $x_2$ aufgelöst:

$ 0 + 1,25 x_2 \le 3.750 \; \rightarrow \; x_2 = 3.000$

Die beiden Punkte $x_1(7.500; 0)$ und $x_2(0; 3.000)$ werden dann in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden. Dies liegt daran, dass die beiden Torten hinsichtlich der Produktionskapazität voneinander abhängig sind bzw. sich begrenzen. Je mehr von der einen Torte produziert wird, desto weniger Kapazität bleibt für die andere Torte übrig.

Die Absatzrestriktion (in grün) hat die Form:

$ x_1 \le 3.000 $

$ x_2 \le 2.500$

Diese beiden Punkte hingegen werden nicht miteinander verbunden, sondern stellen Geraden dar. Dies liegt daran, dass die Absatzrestriktionen der beiden Torten nicht voneinander abhängig sind und sich gegenseitig nicht begrenzen.

Die Nachfragerestriktion (in blau) hat die Form:

$x_1 + x_2 \le 5.000$ 

Hier ist:

$x_1 = 5.000$   ($x_2 = 0$ setzen und nach $x_1$ auflösen)

$x_2 = 5.000$   ($x_1 = 0$ setzen und nach$ x_2$ auflösen)

Die beiden Punkte  werden wieder in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden. Dies liegt daran, dass die beiden Torten hinsichtlich der Nachfragekapazität voneinander abhängig sind, bzw. sich begrenzen. Je mehr von der einer Torte verkauft wird, desto weniger wird die andere Torte nachgefragt. Insgesamt hat das Unternehmen eine Tortennachfrage von 5.000 Stück, wenn z.B. von $x_1$ bereits 3.000 Stück abgesetzt worden sind, dann werden nur noch 2.000 Stück von $x_2$ nachgefragt.

Der zulässige Bereich

Der zulässige Bereich wird durch diese Restriktionen ermittelt und wird in diesem Beispiel durch die Absatzrestriktion (grün) und durch die Produktionskapazität (rot) begrenzt. 

Optimales Produktionsprogramm

Um nun das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, also die optimale Kombination aus $x_1$ und $x_2$ zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrages, wird die Zielfunktion benötigt. Diese hat die Form:

$DB = 2x_1 + 10 x_2$

Hierbei ist es egal, welchen Höchstwert (rechte Seite) man ansetzt. Es ist wichtig, dass der gewählte Wert so hoch ist, dass sich die Zielfunktion in die Grafik einzeichnen lässt und noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. In diesem Beispiel haben wir den Höchstwert $4.000$ gewählt:

$2x_1 + 10 x_2 \le 4.000$

mit

$x_1 = 2.000$

$x_2 = 400$

Diese beiden Punkte zeichnet man nun in die Grafik ein und verbindet sie miteinander (gestrichelte Linie). Als nächstes nimmt man sich ein Geodreieck in die Hand und verschiebt die Gerade solange (parallel zu sich selbst) nach oben bis zu dem Punkt, welcher sich gerade noch innerhalb des zulässigen Bereiches befindet. In der Grafik ist dies der schwarz eingezeichnete Punkt. 

Es werden also von $x_1 = 1.250$ Stück und von $x_2 = 2.500$ Stück produziert. Dies ergibt einen Gesamtdeckungsbeitrag in Höhe von:

$DB = 1.250 \cdot 2 + 2.500 \cdot 10 = 27.500$.

Zusammenfassung der Ergebnisse

Es ist ersichtlich, dass die Permiumtorte ($x_2$) bis zu ihrem Absatzmaximum in Höhe von 2.500 Stück produziert wird. Die Einfachvariante hingegen ($x_1$) wird nicht bis zu ihrem Absatzmaximum in Höhe von 3.000 Stück produziert. Man sieht deutlich, dass die gesamte Nachfrage von 5.000 Stück nicht befriedigt wird, da nur 3.750 Stück (=1.250+2.500) hergestellt werden. Der Grund dafür liegt darin, dass die Produktionskapazität bei 3.750 Stück erreicht ist. Dadurch muss von einer Torte weniger produziert werden. In diesem Fall wird von der Einfachvariante weniger produziert, weil diese einen geringeren Deckungsbeitrag aufweist. Die Premiumvariante hingegen weist einen höheren Deckungsbeitrag auf und wird deswegen vorgezogen.

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