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Regelungstechnik

Definition

Der Begriff Linearisierung dürfte ihn bereits aus anderen Studienfächern ihres Studiums bekannt sein. Im Studienfach Regelungstechnik besagt die Linearisierung in Bezug auf Übertragungselemente, dass diese linear sind, wenn sie eines der folgenden Prinzipien erfüllen:

Verstärkungsprinzip

Merke

Das Verstärkungsprinzip ist erfüllt, wenn ein Übertragungselement welches aus einer Eingangsgröße $ x_e $ eine Ausgangsgröße $ x_a = f (x_e) $ erzeugt, auch die Eingangsgröße $ k \cdot x_e $ in die Ausgangsgröße $ k \cdot x_a $ überführt.

Methode

Gleichung des Verstärkungsprinzips: $ k \cdot x_a = f (k\cdot x_e ) = k \cdot f (x_e) $

Grafische Darstellung des Verstärkungsprinzips:

Verstärkungsprinzip
Verstärkungsprinzip

Überlagerungsprinzip

Merke

Das Überlagerungsprinzip ist erfüllt, wenn ein Übertragungselement, dass aus der Eingangsgröße $ x_{e1} $ die Ausgangsgröße $ x_{a1} = f(x_{e1}) $, sowie aus der Eingangsgröße $ x_{e2} $ die Ausgangsgröße $ x_{a2} = f(x_{e2})$ erzeugt, auch die Summe der Eingangsgrößen in die Summe der Ausgangsgrößen überführen kann.

Methode

Gleichung des Überlagerungsprinzips: $ x_{a1} \pm x_{a2} = f (x_{e1} \pm x_{e2}) $ bzw. $ x_{a1} \pm x_{a2} = f (x_{e1}) \pm f(x_{e2}) $

Grafische Darstellung des Überlagerungsprinzips:

Überlagerungsprinzip
Überlagerungsprinzip

Merke

Sowohl das Verstärkungsprinzip als auch das Überlagerungsprinzip gelten für beliebige Werte der Eingangsgrößen und Konstanten.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Formulieren Sie für das nachfolgende Proportionalelement eine Gleichung des Verstärkungsprinzips und eine Gleichung für das Überlagerungsprinzip.

Methode

Proportionalelement: $ x_a = K_P \cdot x_e $

Gleichung des Verstärkungsprinzips: $ k \cdot x_a = k \cdot K_P \cdot x_e \leftrightarrow k \cdot x_a = K_P \cdot k \cdot x_e $

Gleichung des Überlagerungsprinzips:
$ x_{a1} = K_P \cdot x_{e1} $, und $ x_{a2} = K_P \cdot x_{e2} $

$ x_{a1} \pm x_{a2} = K_P \cdot x_{e1} \pm K_P \cdot x_{e2} \leftrightarrow x_{a1} \pm x_{a2} = K \cdot( x_{e1} \pm x_{e2}) $

Warum linearisiert man überhaupt Übertragungselemente?

Die Ursache liegt darin, dass in der Regelungstechnik gerade Untersuchungsverfahren, die einen hohen Leistungsumfang beinhalten, nur mit linearisierten Regelkreiselementen verwendet werden können.