Duales Simplexverfahren: Simplexschritte

Die Simplexschritte für das duale Simplexverfahren werden analog zum primalen Simplexverfahren durchgeführt und sind diesem Abschnitt zu entnehmen. Es wird nun das neue Tableau aus dem vorherigen Abschnitt aufgeführt:

Es liegt nun das folgende neue Tableau nach Durchführung eines Simplexschrittes vor. Die Vorgehensweise sei kurz zusammengefasst:

Das Pivotelement geht mit seinem reziproken Wert ein: $\frac{1}{-1} = -1$

Die neuen Elemente der Pivotzeile werden ermittelt, indem die alten Werte durch das alte Pivotelement geteilt werden.

Die neuen Elemente der Pivotspalte werden ermittelt, indem die alten Werte durch das alte Pivotelement geteilt und mit $-1$ multipliziert werden.

Die restlichen Werte werden bestimmt indem der alte Wert abzüglich der alten Werte aus zugehöriger Pivotspalte mal Pivotzeile durch Pivotelement berechnet wird. Z.B.: Der wurde der Wert $4$ bestimmt durch:

$-8 - \frac{-1 \cdot -12}{-1}$.

Der Zielfunktionswert wurde ermittelt, indem die Basisvariablen mit den Werten der rechten Seite in die Zielfunktion eingesetzt werden (die Nichtbasisvariablen besitzen den Wert Null):

$f(x_1, x_2) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 12  = 12$.

Weiterer dualer Simplexschritt

Da immer noch Werte auf der rechten Seite existieren $b_i < 0$, welche kleiner Null sind, muss hier wieder der duale Simplexalgorithmus angewandt werden. Denn es ist immer noch keine zulässige Basislösung gegeben ($x_5 \le 0$). Es wird also wieder mittels des dualen Simplexverfahrens die Pivotzeile, Pivotspalte und das Pivotelement ausgewählt:

Nach dem dualen Simplexverfahren ist zunächst die Pivotzeile bestimmt worden (kleinester negativer Wert der rechten Seite). In diesem Fall existiert nur noch ein negativer Wert und dies stellt gleichzeitig die Pivotzeile dar. Danach wird die Pivotspalte (größter Quotient aus Zielfunktionswert durch Werte der Pivotzeile, wobei nur negative Werte der Pivotzeile berücksichtigt werden dürfen) ausgewählt. Auch hier existiert nur noch ein negativer Wert in der ausgewählten Pivotzeile. Dies stellt gleichzeitig die Pivotspalte dar. Das Pivotelement ergibt sich dort, wo sich Pivotspalte und Pivotzeile schneiden (hier: -2). Es wird wieder das neue Tableau (Tausch von Basisvariable und Nichtbasisvariable des Pivotelements) aufgestellt mit den neuen Elemente:

Es sind nun keine negativen Werte mehr auf der rechten Seite gegeben. Demnach ist eine zulässige Basislösung gegeben:

$x_1 = 1$, $x_2 = 9$, $x_3 = 2$, $x_4 = 0$ und $x_5 = 0$.

Der Zielfunktionswert ist gegeben mit $z = 11$.

Da in der unteren Zeile noch ein Zielfunktionswert mit negativem Wert gegeben ist, kann als nächstes der primale Simplexalgorithmus angewendet werden um aus der zulässigen Basislösung eine optimale Basislösung zu machen. 

Primaler Simplexalgorithmus

Bei dem primalen Simplexverfahren (nur mit zulässiger Basislösung anwendbar) kann aus einer gegebenen zulässigen Basislösung eine optimale Basislösung gewonnen werden, wenn in der Zielfunktionszeile noch negative Werte gegeben sind. Es wird als erstes die Pivotspalte bestimmt. Hier wird der kleinste negative Wert ausgewählt um die Pivotspalte zu bestimmen. In dem obigen Tableau existiert nur ein negativer Wert. Danach wird die Pivotzeile ausgewählt, indem die Werte der rechten Seite durch die Werte der ausgewählten Pivotspalte dividiert werden und der kleinste Quotient ausgewählt wird. Dabei dürfen nur positive Werte größer Null für die Division verwendet werden. In dem obigen Tableau kann nur der Wert $\frac{1}{2}$ für die Division verwendet werden, dies stellt also die Pivotzeile dar. Das Pivotelement liegt dort, wo sich Pivotzeile und Pivotspalte schneiden. Es kann nun das neue Tableau aufgestellt werden (Basis- und Nichtbasisvariable müssen vertauscht werden):

Es sind alle Werte der Zielfunktionszeile positiv, damit ist die optimale Lösung erreicht:

$x_1 = 10$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$, $x_4 = 18$ und $x_5 = 0$.

Der Zielfunktionswert beträgt dann:

$z = 20$.

Es sind noch Kapazitäten für die Restriktionen 1 und 2 vorhanden, welche durch die Schlupfvariablen $x_3$ und $x_4$ angezeigt werden. So sind für Restriktion 1 noch $x_3 = 2$ Kapazitätseinheiten verfügbar und für Restriktion 2 noch $x_4 = 18$ Kapazitätseinheiten. Die Restriktion 3 verfügt über keine Kapazitäten mehr, $x_5 = 0$.