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Baustatik 1 - Äußere Verschiebungsarbeit

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Baustatik 1

Äußere Verschiebungsarbeit

Die Verschiebungsarbeit einer Kraft $F$ ist die Formänderungsarbeit, die auf ihrem Verschiebungsweg geleistet wird, der von anderen Kräften verursacht wird. 

Um den Begriff der Verschiebungsarbeit zu verstehen, betrachten wir im Folgenden einen Balken. Auf den Balken wirken zwei Kräfte $F_1$ und $F_2$ ein:

Äußere Verschiebearbeit, Formänderungsarbeit
Äußere Verschiebungsarbeit der Kraft F1

 

Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ werden nun nacheinander auf den Balken aufgebracht. Wir gehen dafür in zwei Schritten vor:

1. Schritt: Der Balken ist zunächst unverformt: Es wird die Kraft $F_1$ unendlich langsam aufgebracht, damit es zu keinen Schwingungen am System kommt. Die Kraft $F_1$ leistet dabei am Balken die äußere Eigenarbeit:

Methode

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$W_{eig}= \frac{1}{2} F_1 \cdot \delta_{11}$


2. Schritt: Als Nächstes wird die Kraft $F_2$ unendlich langsam am bereits -durch die Kraft $F_1$ -verformten System aufgebracht. Diese Kraft leistet die Eigenarbeit:

Methode

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$W_{eig} = \frac{1}{2} F_{2} \cdot \delta_{22}$

 

Im 2. Schritt bei der Anbringung der Kraft $F_2$ ist die Kraft $F_1$ bereits in voller Höhe vorhanden und demnach konstant. Die Kraft $F_1$ wird also infolge der Belastung mit der Kraft $F_2$ auf dem Weg $\delta_{12}$ weiter verschoben. Diesmal ist die Kraft aber bereits in ihrer vollen Höhe vorhanden und leistet damit die Verschiebungsarbeit:

Methode

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$W_{ver} = F_1 \cdot \delta_{12}$                               Verschiebungsarbeit

 

Bei der Indizierung der Verformung gibt der erste Index die Stelle der Verformung an, der zweite Index die Ursache der Verformung. So ist z.B. bei $\delta_{12}$ die Verformung an der 1. Stelle infolge der Kraft $F_2$. 

 

Die gesamte von $F_1$ geleistete Arbeit ist die Summe aus Eigen- und Verschiebungsarbeit:

Methode

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$W = W_{eig} + W_{ver} = \frac{1}{2} F_1 \cdot \delta_{11} + F_1 \cdot \delta_{12}$

 

Die gesamte Formänderungsarbeit der Kraft $F_1$ setzt sich zusammen aus der Eigenarbeit der Kraft $F_1$ beim Anbringen sowie der Verschiebungsarbeit, welche die Kraft $F_1$ beim Anbringen von $F_2$ leistet. 

Äußere Verschiebearbeit einer Kraft im Diagramm
Eigen- und Verschiebungsarbeit der Kraft F1 (grafisch)

 

Die Eigenarbeit der Kraft $F_1$ entspricht der dreieckigen Fläche unterhalb der Funktion $F = c \delta$. Die Kraft $F_1$ wird hier nach und nach an den Balken angebracht, weshalb die dreieckige Fläche resultiert. Die Kraft $F_1$ ist also zunächst abhängig vom Weg $\delta$. Nachdem die Kraft $F_1$ in ihrer vollen Höhe angebracht wurde, wird die Kraft $F_2$ angebracht. Beim Anbringen der Kraft $F_2$ verformt sich der Balken weiter, die Kraft $F_1$ - die nun konstant ist - verschiebt sich während der Verformung durch die Kraft $F_2$ über den Weg $\delta_{21}$ und wird mit ihrer vollen Höhe berücksichtigt. Dies entspricht der rechteckigen Fläche unterhalb der Funktion $F = const$.

Merke

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Verschiebungsarbeit ist die Arbeit, die eine Kraftgröße auf Wegen leistet, die von einer anderen Kraft oder Verformungsgröße verursacht wird.

Verformung durch Temperaturänderung

Eine Kraft leistet Verschiebungsarbeit infolge einer äußeren Kraft oder infolge einer Temperaturänderung. Wir betrachten hierzu einen Dehnstab, welcher eine Kraft- und Temperaturbeanspruchung aufweist: 

Verschiebearbeit infolge Temperatuänderung
Verschiebungsarbeit infolge Temperaturänderung

 

Im ersten Schritt wird am unverformten hängenden Stab die Kraft $F$ angebracht. Diese Kraft $F$ führt zu einer Verlängerung des Stabes um $u_F$. Die Kraft $F$ wird hier wieder unendlich langsam angebracht, damit keine Schwingungen auftreten. Die Kraft $F$ ist also verantwortlich für die Verlängerung des Stabes und damit für die Verschiebung des Stabendes. Sie leistet dabei die Eigenarbeit:

Methode

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$W_{eig} = \frac{1}{2} F \cdot u_F$

mit

$F = c \cdot u_F$

 

Nachdem die Kraft $F$ angebracht wurde und der Stab sich um $u_F$ verlängert hat, wird der Stab in einem nächsten Schritt erwärmt. Die Erwärmung des Stabes führt zu einer weiteren Verlängerung um $u_T$. Die Kraft $F$ wird also durch die Erwärmung um $u_T$ verschoben und leistet dabei die Verschiebungsarbeit:

$W_{ver} = F \cdot u_T$

 

Es ist also bei der Eigenarbeit und der Verschiebungsarbeit hinsichtlich der Ursache der Verschiebung zu unterscheiden. Bei der Eigenarbeit verschuldet die Kraft $F$ selbst die Verschiebung, bei der Verschiebungsarbeit erfolgt die Verschiebung der Kraft $F$ durch andere Kräfte oder Belastungen. Bei der Eigenarbeit ist die Kraft abhängig vom Weg, weil die Kraft unendlich langsam aufgebracht wird (in viele kleine Teilstücke zerlegt). Sie wächst also linear an (Hooksche Gesetz). Bei der Verschiebungsarbeit ist die Kraft konstant, weil sie bereits mit ihrer vollen Höhe vorhanden ist.