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Technische Mechanik 1: Statik - Kontinuierlich verteilte Kräfte

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Technische Mechanik 1: Statik

Kontinuierlich verteilte Kräfte

Kontinuierlich verteilte Kräfte liegen vor, wenn eine Kraft über eine bestimmte Strecke gleichmäßig verteilt wird. Die Streckenlast wird bezeichnet mit $q(x)$. Die Streckenlast $q(x)$ hat die Einheit Newton pro Meter [N / m].

Beispiel

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Angenommen auf ein Carport fällt Schnee und es bildet sich eine Schneedecke, die gleichmäßig auf das Carport verteilt ist. Es liegt also eine Streckenlast vor.

Streckenlast
Streckenlast

In der obigen Grafik greift die vertikale Streckenlast $q(x)$ an. Die Länge der Strecke, über die die Last verteilt ist, beträgt $l$. Für die Berechnung der Streckenlast in der Statik wird der Schwerpunkt gesucht und dort die resultierende Kraft ermittelt. Dies geschieht, indem die Streckenlast $q(x)$ über eine infinitesimale Länge $dx$ durch eine Einzellast der Größe $q(x)dx$ ersetzt wird:

Streckenlast

In der obigen Grafik ist deutlich zu sehen, dass $q(x)$ in kleine Rechtecke der inifinitesimal kleinen Länge $dx$ aufgeteilt wird. Die Frage ist nun, wo genau der Schwerpunkt $S$ liegt. Es ist also notwendig, den Abstand $x_s$ des Schwerpunktes zum Bezugspunkt zu berechnen. Die Abstandsberechnung erfolgt durch die Momentengleichgewichtsbedingung (siehe vorherigen Abschnitt):

$\curvearrowleft M^{(0)} = x_s H - \sum x_i F_i$

mit $H = \sum F_i$

Nach $x_s$ aufgelöst

Methode

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$x_s = \frac{\sum x_i F_i}{\sum F_i}$      Abstand Schwerpunkt (parallele Einzelkräfte)

Aus dem Summenzeichen wird im Grenzübergang ein Integral (siehe Höhere Mathematik I: Bestimmte Integrale):

Merke

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(1) $x_s = \frac{\int x q(x) dx}{\int q(x) dx}$       Abstand Schwerpunkt (kontinuierlich verteilte Kräfte)

Schwerpunktberechnung

Die Formel für die Schwerpunktberechnung ist in (1) gegeben. Wie berechnet sich dieser nun aber an geometrischen Formen? Für geometrisch bekannte Formen, wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke, ist die Berechnung einfach. 

Rechteck
Streckenlast Rechteck
Streckenlast Rechteck

In der obigen Grafik sind die Kräfte überall gleich groß, d.h. $q(x) = q_0$. Durch die Integration von $q(x)$ (Summe der Kräfte $q(x)dx$) berechnet sich die Größe der Resultierenden aus dem Nenner (1):

$\int\limits_0^l q(x) dx = \int\limits_0^l q_0 dx = [x \; q_0]_0^l = [q_0 \cdot l - q_0 \cdot 0] = q_0 \cdot l$.

Dies kann man auch ohne die Integration ablesen, denn die Größe der Resultierenden ist gleich dem Flächeninhalt.

Nachdem die Größe der Resultierenden bestimmt ist, muss als nächstes der Zähler (1) integriert werden (Abstand der einzelnen Teilrechtecke zum Bezugspunkt):

$\int\limits_0^l x \; q(x) \; dx = \int\limits_0^l x \; q_0 \; dx = [\frac{1}{2} x^2 q_0]_0^l = \frac{1}{2} l^2 q_0$

Man kann nun die Lage der Resultierenden anhand der obigen Formeln (1) bestimmen:

$x_s = \frac{\int x q(x) dx}{\int q(x) dx}$ 

$x_s = \frac{\frac{1}{2} l^2 q_0}{q_0 \cdot l} = \frac{1}{2} l$

Das bedeutet also, dass sich der Schwerpunkt beim Rechteck auf der halben Länge befindet.

Streckenlast Schwerpunkt Rechteck
Schwerpunkt Rechteck

Schwerpunktberechnung beim rechtwinkligen Dreieck

Streckenlast Dreieck
Streckenlast Dreieck

Beim rechtwinkligen Dreieck sind die einzelnen Lasten $q_0$ nicht mehr alle gleich groß. Das bedeutet, hier muss die Maximalkraft $q_0$ noch mit ihrem Anteil an der gesamten Strecke multipliziert werden:

$q(x) = q_0 \cdot \frac{x}{l}$

mit $\frac{x}{l}$ als Anteil an der gesamten Strecke. Wäre z.B. $x = 3m$ und $l = 10m$, dann hätte $q_0$ an der Stelle $x = 3m$ eine Größe von $0,3q_0$.

Die Berechnung erfolgt dann analog zu oben. Die Größe der Resultierenden (gleich Flächeninhalt) beträgt:

$\int\limits_0^l q(x) \; dx = \int\limits_0^l q_0 \frac{x}{l} dx = [\frac{1}{l} \;  q_0 \; \frac{1}{2} x^2]_0^l = \frac{1}{2}q_0 \cdot l$.

Der Abstand der einzelnen Teilrechtecke zum Bezugspunkt wird berechnet durch:

$\int\limits_0^l x \; q(x) \; dx = \int\limits_0^l x \; q_0 \frac{x}{l} \; dx = [\frac{1}{l} q_0 \frac{1}{3} x^3]_0^l = \frac{1}{3}q_0 \cdot l^2$

Der Abstand des Schwerpunktes zum Bezugspunkt ist demnach:

$x_s = \frac{\frac{1}{3}q_0 \cdot l^2}{\frac{1}{2}q_0 \cdot l} = \frac{2}{3}l$.

Der Schwerpunkt liegt bei einem rechtwinkligen Dreieck auf $2/3$ der Strecke.

Schwerpunkt Dreieck
Schwerpunkt Dreieck

 

Merke

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Die Resultierende der Streckenlast ist gleich dem Flächeninhalt der Streckenlast. Die Lage der Resultierenden ist der Schwerpunkt der Fläche. 

 

Beispiel: Parabelförmige Streckenlast

parabelförmige Streckenlast - Resultierende und Angriffspunkt bestimmen
parabelförmige Streckenlast

Beispiel

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Gegeben sei die parabelförmige Streckenlast mit $q(x) = q_0 (\frac{x}{l})^2$. Bestimme die Resultierende der Streckenlast sowie den Kraftangriffspunkt dieser.

Die Resultierende der Streckenlast ist immer die Fläche unterhalb der Funktion. In unserem Fall ist die Funktion $q(x)$. Wir suchen also die Fläche unterhalb der Funktion um die Resultierende $F_q$ zu berechnen. Integriert wird über die Länge über welche die Streckenlast wirkt. In diesem Beispiel also von 0 bis l:

$F_q = \int_0^l q(x) \; dx$

Einsetzen der Funktion $q(x)$:

$F_q = \int_0^l q_0 (\frac{x}{l})^2 \; dx = \int_0^l q_0 (\frac{x^2}{l^2}) \; dx$

Wir haben hier konstante Faktoren gegeben, welche vor das Integral gezogen werden dürfen:

$F_q = \frac{q_0}{l^2}  \int_0^l x^2 \; dx$

 

Hinweis

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Integration durchführen mit:

$x^n = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$

$x^2 = \frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1}$

$x^2 = \frac{1}{3} x^{3}$

 

Es ergibt sich demnach:

$F_q = \frac{q_0}{l^2} [\frac{1}{3} x^3]_0^l$

Einsetzen der Integralgrenzen:

$F_q = \frac{q_0}{l^2} [\frac{1}{3} l^3]$

$F_q = q_0 \frac{l}{3} $

Als nächstes wollen wir den Kraftangriffspunkt der Resultierenden $F_q$ bestimmen. Dazu benötigen wir den Schwerpunkt der Fläche in x-Richtung. Dieser wird bestimmt zu (siehe Formel im Text):

$x_s = \frac{\int x q(x) dx}{\int q(x) dx}$


Einsetzen von $q(x)$ und Integration von 0 bis l durchführen:

$x_s = \frac{\int_0^l x q_0 (\frac{x^2}{l^2}) dx}{\int_0^l q_0 (\frac{x^2}{l^2}) dx}$

 

Es werden Nenner und Zähler separat integriert:

Zähler

$\int_0^l x \cdot q_0 (\frac{x^2}{l^2}) dx = \frac{q_0}{l^2} \int_0^l x^3 dx$

$ \frac{q_0}{l^2} [ \frac{1}{4} x^4 ]_0^l = q_0 \frac{l^2}{4}$

Nenner

$\int_0^l q_0 (\frac{x^2}{l^2}) dx = q_0 \frac{l}{3}$

Hier wird die Fläche berechnet, diese Integration entspricht der bereits durchgeführten Integration zur Berechnung der Resultierenden $F_q$.


Einsetzen in die Formel:

$x_s = \frac{q_0 \frac{l^2}{4}}{q_0 \frac{l}{3}}$

$x_s = \frac{3}{4} l$

Der Kraftangriffspunkt der Resultierenden der Streckenlast $F_q$ liegt bei $x = \frac{3}{4}l$.