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Merke
Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn ein Körper durch eine Kraft bewegt oder verformt wird.
Arbeit $W$ ist in der Physik die Energie, die durch Kräfte auf einen Körper übertragen wird. Man sagt: „An dem Körper wird Arbeit verrichtet". Arbeit $W$ wird an einem Körper verrichtet, wenn eine Kraft $F$ längs eines Weges $s$ auf ihn einwirkt.
Arbeit $W$ wird in der Mechanik definiert als das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor:
Methode
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cos \sphericalangle (\vec{F}, \vec{s})$
mit
$F$ Kraftvektor
$s$ Wegvektor
Das Skalarprodukt berücksichtigt, dass nur der Kraftanteil mit dem ihm gleich gerichteten Weg multipliziert wird:
Beispiel
Gegeben sei der Kraftvektor $\vec{F} = (F_x, F_y)$ und der Wegvektor $\vec{s} = (s_x, s_y)$. Bilden wir das Skalarprodukt so erhalten wir:
$W = F_x \cdot s_x + F_y \cdot s_y$
Es wird also die Kraft in $x$-Richtung mit dem Weg in $x$-Richtung multipliziert und die Kraft in $y$-Richtung mit dem Weg in $y$-Richtung.
Mathematisch: Projiziert man den Vektor $\vec{F}$ auf den Vektor $\vec{s}$ , so ergibt sich ein Vektor $\vec{F_{\vec{s}}}$. Der neue Vektor $\vec{F_{\vec{s}}}$ (roter Vektor in der obigen Grafik) besitzt die Länge $|\vec{F}| \cos (\alpha)$. Multipliziert man diese Länge mit $|\vec{s}|$ (Länge des Vektors $\vec{s}$) , so erhält man die Arbeit $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$.
Für die Berechnung der Arbeit wird nur derjenige Kraftanteil berücksichtigt, welcher in Richtung des Weges wirkt. Für die obige Grafik bedeutet dies, dass nur der Teil der Kraft $F$ berücksichtigt wird, welcher in Richtung des Wegvektors $\vec{s}$ wirkt. Dieser Kraftanteil entspricht der Projektion von $\vec{F}$ auf $\vec{s}$ und besitzt die Länge $|\vec{F}| \cos (\alpha)$.
Methode
$W > 0 $ für $0 \le \alpha < 90°$
$W = 0$ für $\alpha = 90°$
$W < 0$ für $90° < \alpha \le 180°$
Wirkt die gesamte konstante Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges, dann ist die Arbeit das Produkt der Beträge $W =|\vec{F}| \cdot |\vec{s}| $ da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist. Die Arbeit wird dann positiv. Physikalisch: Dem Körper wird Arbeit und damit Energie zugeführt.
Ist die Richtung der Kraft hingegen entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung, dann bilden Kraftvektor und Wegvektor einen 180° Winkel, dessen Kosinus den Wert -1 annimmt ($\cos(180°) = -1$). Die Arbeit wird dann negativ. Physikalisch bedeutet dies, dass an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet wird und diesem damit Energie entzogen wird.
Sind Kraftvektor und Wegvektor senkrecht zueinander, so wird im physikalischen Sinn keine Arbeit verrichtet ($\cos(90°) = 0$).
Die Länge eines Vektors wird mittels Satz des Pythagoras berechnet zu:
Methode
$\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ Länge eines Vektors
Bei nicht geradlinigen Wegen und nicht konstanten Kräften ist die Arbeit das Kurvenintegral über das Skalarprodukt aus Kraft und Weg:
Methode
$W = \int \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s}$
Für ein Kräftepaar mit dem Momentenvektor $\vec{M}$ ergibt sich die Arbeit zu:
Methode
$W = \vec{M} \cdot \vec{\varphi} = |\vec{M}| \cdot |\vec{\varphi}| \cos \sphericalangle (\vec{M}, \vec{\varphi})$
Und bei nicht konstantem Moment bzw. bei nicht konstantem Winkel ergibt sich:
Methode
$W = \int \vec{M}(\vec{\varphi}) \cdot d\vec{\vec{\varphi}}$
Beispiel: Berechnung der Arbeit
Beispiel
Eine Kiste wird einen horizontalen Weg $s = 5 m$ verschoben. Hierfür wird die Kraft $F = 25 N$ aufgewendet. Wie groß ist die verrichtete Arbeit?
Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Wegvektor. In der Aufgabenstellung sind aber nicht Vektoren, sondern die Beträge und damit die Längen angegeben:
$|\vec{F}| = F = 25 N$
$|\vec{s}| = s = 5m$
Anwendung der obigen Formel führt zu:
$W = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cos 30°$
$W = 25N \cdot 5m \cos 30° = 108,25 Nm = 108,25 J$
Bei der obigen Formel ist $25 N \cos(30°)$ der horizontale Kraftanteil der Kraft $F$. Es darf nur der Kraftanteil betrachtet werden, welcher in Richtung des Weges zeigt.
Alternativ kann man hier auch zunächst die Kraft $F$ in die Komponente zerlegen, welche in Richtung des Weges zeigt (hier horizontal):
$F_h = F \cos (30°) = 25 N \cos(30°)$.
Die Kraft $F_h$ und der Weg $s$ sind nun gleichgerichtet, der Winkel zwischen ihnen ist also 0. Da $\cos(0) = 1$ ergibt sich demnach:
$W = F_h \cdot s = 25 N \cos(30°) \cdot 5m = 108,25 J$
Beispiel: Arbeit als Vektor
Beispiel
Gegeben sei ein Körper, welcher durch den Kraftvektor $\vec{F} = (10 N, 25 N)$ belastet wird. Der Körper legt einen Weg zurück von $\vec{s} = (3m, 5m)$. Wie groß ist die Arbeit, die in der Ebene verrichtet wird?
Wir können nun das Skalarprodukt anwenden:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$
$W = (10N, 25N) \cdot (3m, 5m)$
$W = 10 N \cdot 3m + 25 N \cdot 5m = 155 Nm = 155 J$.
Die Arbeit, die verrichtet wird, beträgt 155 J.
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