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Wir haben aus dem 1-fach statisch unbestimmten Ausgangsystem zwei statisch bestimmte Systeme gemacht. Zum einen das 0-System und zum anderen das 1-System. Die Lagerkraft $A_h$ wurde dabei aus dem 0-System entfernt und ins 1-System übertragen. Aufgrund dessen ergibt sich eine horizontale Verschiebung in beiden Systemen, die tatsächlich nicht vorhanden ist. Wir müssen nun für beide Systeme separat die Verschiebung berechnen.
Wir beginnen damit, die Verschiebung im 0-System zu berechnen. Dabei wenden wir den Reduktionssatz an:
Merke
Anstelle des virtuellen Systems verwenden wir zur Berechnung der Verschiebung die Schnittgrößen aus dem 1-System.
Wir haben die folgende Formel zur Berechnung der Verschiebung an der Stelle "1" im 0-System:
Methode
$1 \cdot d_{10} = \int \frac{M_1 \cdot M_0}{EI} dx + \int \frac{Q_1 \cdot Q_0}{GA} dx + \int \frac{N_1 \cdot N_0}{EA} dx $
Zunächst einmal müssen wir uns die Schnittgrößenverläufe genau anschauen. In der Aufgabenstellung wird $GA \to \infty$ und $EA \to \infty$ angenommen, d. h. die Terme mit der Normalkraft und Querkraft können vernachlässigt werden (Brüche nähern sich Null an).
Die Formel reduziert sich somit auf:
Methode
$1 \cdot d_{10} = \int \frac{M_1 \cdot M_0}{EI} dx $
Expertentipp
Es ist natürlich sinnvoll sich vorher die Aufgabenstellung genau anzusehen. Wir haben hier die Schnittgrößenverläufe von Normal- und Querkraft ebenfalls bestimmt, obwohl wir diese für die Berechnungen nicht benötigen. Es sollten also immer nur die Schnittgrößenverläufe bestimmt werden, die auch für die Verschiebung benötigt werden, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten.
Verschiebung Bereich 1
Die Berechnung der Integrale wird mithilfe der Koppeltafel Koppeltafel, Tafel der Integrale durchgeführt. Dabei wird jeder Schnittbereich separat betrachtet. Wir beginnen mit dem Bereich $0 \le x \le 2m$ (linker Rahmenteil) und betrachten dort die Momentenverläufe im 0- und 1-System:
Für die obigen Momentenverläufe müssen wir die Koppeltafel nicht heranziehen, weil $M_0 = 0$ ist. Die gesamte Gleichung für die Verschiebung wird also $0$:
Methode
$1 \cdot d_{10}^1 = \int \frac{M_1 \cdot 0}{EI} dx = 0$
Für den ersten Bereich ist also keine Verschiebung gegeben.
Verschiebung 2. Bereich
Für die Verschiebung im 2. Bereich betrachten wir die Momentenverläufe am oberen Rahmenteil:
Im 0-System ist ein parabelförmiger Momentenverlauf gegeben, im 1- System ein linearer. Wir suchen als Nächstes in Zeile bzw. Spalte der Koppeltafel nach einem parabelförmigen Verlauf. Diesen finden wir in der 4. Zeile. In der Spalte müssen wir dann nach dem obigen linearen Verlauf suchen und finden diesen in der 3. Spalte. Es ergibt sich demnach:
Methode
$\frac{1}{3} l \cdot i \cdot k$
mit
$i$ = maximaler Abstand der Parabel zur Achse
$k$ = Maximaler Abstand links des linearen Verlaufs
$l$ = Länge der Verläufe bzw. des Bereichs (hier: 4m)
In unserem Beispiel ist:
$i = 20$
$k = -2 $
$l = 4$
Wichtig ist es die negativen Werte mit zu berücksichtigen. Einsetzen ergibt:
$1 \cdot d^2_{10} = \frac{1}{EI} \cdot \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 20 \cdot (-2) $
$d^2_{10} = -\frac{1}{EI} \cdot 53,33 $
Gesamtverschiebung am 0-System
Die Gesamtverschiebung ergibt sich dann durch die Addition der Verschiebungen der einzelnen Bereiche:
$d_{10} = d^1_{10} + d^2_{10} $
$d_{10} = 0 + (-\frac{1}{EI} \cdot 53,33) $
Methode
$d_{10} = -\frac{1}{EI} \cdot 53,33$
Wir haben also die Gesamtverschiebung im Lager $A$ für das 0-System berechnet. Ist $EI$ in der Aufgabenstellung gegeben, so kann es hier direkt eingesetzt werden (hier: $EI = 20.000$):
Methode
$d_{10} = -\frac{1}{20.000} \cdot 53,33$
Hinweis
In unserem Beispiel erfolgt die Verschiebung des 0-Systems im Lager $A$ horizontal nach links um $d_{10}$ aufgrund der fehlenden Auflagerkraft $A_h$.
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