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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Ungleichförmige Bewegung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Ungleichförmige Bewegung

Beispiel

Ein Fahrzeug erreicht beim Anfahren aus der Ruhelage in $t_1 = 12 \; s$ eine Geschwindigkeit von $v_1 = 50 \frac{km}{h}$. Die Beschleunigung sinkt linear mit der Zeit von einen Anfangswert $a_0$ auf Null ab.

Bestimmen Sie die Anfangsbeschleunigung $a_0$ und den Ort $x_1$, welchen das Fahrzeug in 12 Sekunden zurücklegt!

1. Skizze anlegen

Um die Anfangsbeschleunigung zu bestimmen, muss zunächst eine Skizze angefertigt werden, damit der lineare Verlauf der Beschleunigung bestimmt werden kann.

Linearer Verlauf der Beschleunigung

In der obigen Grafik ist links eine Gerade im $x,y$-Koordinatensystem aufgezeigt. Die Geradengleichung ist $y = mx + b$ und sollte jedem bekannt sein.
Die Steigung ist rot markiert. Zur Bestimmung der Steigung $m$ müssen $b$ Schritte nach unten und $x_1$ Schritte nach rechts durchgeführt werden. Die Schritte entlang der Abzisse (x-Achse) werden immer unter dem Bruchstrich berücksichtigt, die Schritte auf der Ordinate (y-Achse) oberhalb des Bruchstrichs.

2. Geradengleichung herleiten

Für das hier verwendete Beispiel ist die nebenstehende Grafik zu betrachten. Schritte in positive Achsenrichtung werden positiv gewertet, Schritte in negative Achsenrichtung mit einem Minuszeichen versehen.
Die Geradengleichung lautet nun wie folgt: $a = m \cdot t + a_0$. Die Steigung ist $m = \frac{-a_0}{t_1}$. Das eingesetzt in die Geradengleichung ergibt:

Methode

$a = \frac{-a_0}{t_1} \cdot t + a_0$

Ausklammern von $a_0$:

Methode

$a = a_0 (1 + \frac{-1}{t_1} \cdot t)$

Umschreiben:

Methode

$a = a_0 (1 - \frac{t}{t_1})$

Hierbei handelt es sich um den linearen Verlauf der Beschleunigung. 

3. Beschleunigung herleiten

Die Beschleunigung erhält man aus der einmaligen Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit $t$:

Methode

$a = \frac{dv}{dt}$.

4. Geschwindigkeitsformel herleiten

Umstellen nach $d_v$ und Integrieren führt zur Formel für die Geschwindigkeit:

Methode

$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^t a \; dt$

$v - v_0 = \int_{t_0}^t  a_0 (1 - \frac{t}{t_1}) \; dt $

$v - v_0 = [a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}]_{t_0}^t$

Es gilt $t_0 = 0$:

Methode

$v - v_0 = [a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}]_{0}^t$

$v - v_0 = a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}$

Daraus ergibt sich dann:

Methode

 Allgemeine Geschwindigkeitsformel: $v = v_0 +  a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}$   

Es kann nun nach der Geschwindigkeit $v_1$ umgestellt werden, indem $t = t_1$ gesetzt wird. Außerdem ist $v_0 = 0$:

Methode

$v - v_0 = a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}$

$v_1 = a_0 \cdot t_1 - a_0 \frac{1}{2} \frac{t_1^2}{t_1}$

$v_1 = a_0 \cdot t_1 - a_0 \frac{1}{2} \cdot t_1$

$v_1 = \frac{a_0 \cdot t_1}{2}$ 


Aus dieser Gleichung ist es nun möglich $a_0$ zu bestimmen. Gegeben ist $v_1 = 50 \frac{km}{h}$ und $t_1 = 12 s$:

$a_0 = \frac{2 v_1}{t_1}$


Umrechnung von km/h in m/s: $1 km/h = 0,2\overline{7} m/s$

Methode

$a_0 = \frac{2 \cdot 0,278 * 50 \frac{m}{s}}{12 s} = 2,32 \frac{m}{s^2}$

5. Ortsbestimmung

Um als Nächstes den Ort $x_1$ zu bestimmen, wird der folgende Zusammenhang angewandt:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$.

Auflösen nach $dx$ und Integration:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v \; dt$

Einsetzen von $v$:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [v_0 +  a_0 \cdot t - a_0 \frac{1}{2} \frac{t^2}{t_1}] \; dt$.

$x - x_0 = [v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{t_0}^t$

Es gilt: $t_0 = 0$, $x_0 = 0$ und $v_0 = 0$:

 $x  = [ \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}]_{0}^t$

Methode

 $x  = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t^3}{t_1}$

Um nun den Ort $x_1$ zu bestimmen, muss $t = t_1$ gesetzt werden:

Methode

$x_1  = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t_1^2 - a_0 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \frac{t_1^3}{t_1}$

$x_1  = \frac{1}{2} \cdot a_0 \cdot t_1^2 - a_0 \frac{1}{6} \cdot t_1^2$

$x_1  = \frac{1}{3} \cdot a_0 \cdot t_1^2$


Einsetzen von $a_0 = 2,32 \frac{m}{s^2}$:

Methode

$x_1 = 111,36 m$

Das Fahrzeug befindet sich nach 12 Sekunden bei $x_1 = 111,36 m$. Da sich das Fahrzeug geradeaus bewegt ist dies auch gleichzeitig die Strecke.