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Baustatik 1 - Verschiebung am 1-System

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Baustatik 1

Verschiebung am 1-System

Die Verschiebung am 1-System erfolgt mit derselben Überlegung, wie bereits am 0-System. Nach dem PvK würde nun ein virtuelles System aufgestellt, in welchem eine Kraft $\overline{1}$ in Richtung der Verschiebung des 1-Systems angesetzt wird. Die Formel dafür würde dann lauten:

$\overline{1} \cdot d = \int \frac{\overline{M} \cdot M_1}{EI} dx + \int \frac{\overline{Q} \cdot Q_1}{GA} dx + \int \frac{\overline{N} \cdot N_1}{EA} dx $

Das virtuelle System des 1-System entspricht genau dem 1-System. Wir können uns also auch hier sparen das virtuelle System aufzustellen und stattdessen die Schnittgrößen des 1-Systems verwenden.

Wir erhalten dann die Formel für die Verschiebung am 1-System:

Methode

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$1 \cdot d_{11} = \int \frac{M_1 \cdot M_1}{EI} dx + \int \frac{Q_1 \cdot Q_1}{GA} dx + \int \frac{N_1 \cdot N_1}{EA} dx $

Wir erhalten mit der obigen Formel die Verschiebung an der Stelle 1 (dort wo das Auflager $A_h$ entfernt wurde) im 1-System  (Indizierung: 11). 

Laut Aufgabenstellung ist $EA \to \infty$ und $GA \to \infty$ weshalb die die letzten beiden Terme der Gleichung gegen Null konvergieren und wir haben damit:

Methode

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$1 \cdot d_{11} = \int \frac{M_1 \cdot M_1}{EI} dx =  \int \frac{M_1^2}{EI} dx$

Koppeltafel 

Zur Berechnung des Integrals wenden wir wieder die Koppeltafel Koppeltafel, Tafel der Integrale an. Dazu betrachten wir den Momentenverlauf im 1-System für beide Bereiche:

Verschiebung 1-System Koppeltafel
Momentenverlauf: 1-System

 

Bei Verwendung der Koppeltafel ist es wichtig, dass die Achsen beider Systeme in dieselbe Richtung zeigen. So können wir den linken Momentenverlauf (0-System) um 90° nach rechts drehen. Die $x$-Achsen zeigen dann beide nach rechts und die $z$-Achsen beide nach unten.

Vorsicht

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Die Drehung des linken Momentenverlaufs um 90° nach links ist hingegen nicht zulässig, weil dann die $x$-Achsen und $z$-Achsen beider Systeme nicht mehr in dieselbe Richtung zeigen. Wichtig ist also, dass die positiven Achsen beider Systeme in dieselbe Richtung zeigen!

Verschiebung im Bereich 1

Verschiebung 1-System Bereich 1
Verschiebung am 1-System: Bereich 1

 

Wir betrachten zunächst den 1. Bereich. Innerhalb der Formel wird der Momentenverlauf vom 1-System mit sich selbst multipliziert. Wir müssen also in der Koppeltafel in Zeile und Spalte nach dem selben Momentenverlauf suchen. In der 2. Zeile und 2. Spalte haben wir diesen gegeben und erhalten:

Methode

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$\frac{1}{3} lik$

mit

$i = k = (-2)$ maximaler rechter Abstand 

$l = 2m$ Länge der Verläufe 

 

Einsetzen der Werte:

$1 \cdot d^1_{11} = \int \frac{M_1 \cdot M_1}{EI} dx = \frac{1}{EI} \cdot \frac{1}{3}  lik$

$1 \cdot d^1_{11} = \frac{1}{EI} \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (-2) \cdot (-2) = \frac{8}{3 \cdot EI}$

Verschiebung im Bereich 2

Verschiebung 1-System Bereich 2
Verschiebung am 1-System: Bereich 2

 

Wir müssen als nächstes in der Koppeltafel in Zeile und Spalte nach dem Momentenverlauf für den Bereich 2 suchen. In der Koppeltafel ist dieser Momentenverlauf in der Zeile nicht gegeben. 

Prüfungstipp

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Ist ein Schnittgrößenverlauf in der Koppeltafel nicht gegeben, so können die Momentenverläufe gedreht werden. Wichtig dabei ist, dass beide Momentenverläufe so gedreht werden, dass die Achsen beider Systeme gleich gerichtet sind.

Die beiden obigen Momentenverläufe sind in Bezug auf die Achsen gleichgerichtet. Allerdings findet sich dieser Momentenverlauf nicht in der Zeile der Koppeltafel. Wir drehen nun die Momentenverläufe so lange, bis wir einen Momentenverlauf gegeben haben, der in der Zeile gegeben ist:

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gedrehter Momentenverlauf

 

 Beide Momentenverläufe wurden so gedreht (um 180°), dass die Achsen beider Systeme gleichgerichtet sind. Die $x$-Achsen beider Systeme zeigen nach links, die $z$-Achsen nach oben.

Wir haben nun also die obigen Momentenverläufe in Zeile und Spalte gegeben (2. Zeile und 2.Spalte).

Methode

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$\frac{1}{3} lik$

mit

$i = k = (-2) $ maximaler rechter Abstand

$l = 4m$ Länge der Verläufe 

 

Es ergibt sich demnach:

$1 \cdot d^2_{11} = \frac{1}{EI} \cdot \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = \frac{16}{3 \cdot EI}$

Gesamtverschiebung am 1-System

Die Gesamtverschiebung ist die Summe aus den Einzelverschiebungen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$d^1_{11} + d^2_{11} = d_{11} = \frac{8}{3 \cdot EI}+ \frac{16}{3 \cdot EI} = \frac{8}{EI}$


Einsetzen von $EI = 20.000 kNm^2$ (laut Aufgabenstellung) ergibt dann:

Methode

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$d_{11} = \frac{8}{3 \cdot EI}+ \frac{16}{3 \cdot EI} = \frac{8}{20.000}$