Richtungsfeld und Isoklinen

Thema dieses Kurstextes sind das Richtungsfeld und die Isoklinen.  

Richtungsfeld

Ist eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern dieser durch den jeweiligen Punkt $ (x,y) $ verliefe.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein Richtungsfeld sich aus all den Punkten (inkl. Vektoren) erzeugen lässt, die durch $ f(x,y) $ definiert sind. Zur Veranschaulichung siehe folgende Grafik:

Richtungsfeld

Isoklinen

Isoklinen sind Kurven in der Ebene, entlang derer alle Linienelemente die gleiche Steigung besitzen. Dies bedeutet dass alle Punkte, deren Vektoren in die gleiche Richtung zeigen mit einer Linie (Isokline) verbunden werden könne.

Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch

$\ f(x,y) = const $ .

In der folgenden Grafik wurden einige Isoklinen in das Richtungsfeld eingezeichnet.

Isoklinen (blau)

Zur Wahrung der Übersicht, wurde nur ein Teil der Isoklinen (blaue Linien) eingezeichnet.