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Auf ein Tragwerk können unterschiedliche Kräfte wirken. Äußere Kräfte sind alle Kräfte die von außen auf das Tragwerk einwirken sowie die daraus resultierenden Stütz- und Auflagerkräfte. Alle äußeren Kräfte an einem Tragwerk müssen sich untereinander im Gleichgewicht befinden, damit sich ein Tragwerk in Ruhe befindet.
Äußere Kräfte werden auch häufig als Lasten bezeichnet. Äußere Lasten können unterschieden werden nach der Art der Einwirkung in:
- Einzellasten
- Linienlasten
- Flächenlasten.
Äußere Lasten können außerdem nach der Art der Belastung unterteilt werden, in:
- Ständige Lasten sind Lasten, welche jederzeit auf das Tragwerk einwirken. Dazu gehört unter anderem das Eigengewicht des Tragwerks oder die Auflagerkräfte.
- Veränderliche Lasten sind Lasten, die zeitlich variieren. Dazu gehören unter anderem Schnee, Wind und Verkehr.
- Außergewöhnliche Lasten treten in Ausnahmefällen auf bzw. sehr selten. Hierzu gehören unter anderem Erdbeben, Feuer oder der Aufprall von Fahrzeugen.
Diese äußeren Kräfte werden mit Hilfe von Normen und Versagenswahrscheinlichkeiten abgeschätzt und das Tragwerk so konstruiert, dass dieses den oben genannten äußeren Kräften standhält. Ein Ziel der Baustatik ist es die ungünstige Kombination aus den oben genannten Lasten zu ermitteln um daraus die Tragsicherheit (Bruch, Knicken, Plastizität) und die Gebrauchstauglichkeit (Verformungen, Risse, Schwingungen) zu bestimmen.
Die folgenden Lasten können von außen auf ein Tragwerk einwirken und müssen bei der Konstruktion berücksichtigt werden:
- das Eigengewicht des Tragwerks bzw. der Tragwerksteile
- Nutzlast, Windlast, Schneelast, Eislast
- Wasserdruck (z. B. bei Brücken)
- Erddruck
- Aufprallunfälle (z. B. Fahrzeugaufprall)
- Temperaturänderungen
- Zwangskräfte (z. B. Auflager)
Diese Kräfte müssen bei der Konstruktion des Tragwerks berücksichtigt werden und sich um Gleichgewicht befinden.
Gleichgewichtsbedingungen
Ob sich ein Tragwerk im Gleichgewicht befindet und damit in Ruhe kann über die Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Diese werden auch herangezogen um unbekannte Kräfte (Auflagerkräfte, Gelenkkräfte, Schnittgrößen etc.) zu bestimmen.
Betrachten wir die $x,y,z$-Ebene, so stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, aus denen sechs unbekannte Kräfte bestimmt werden können.
Methode
$\sum F_{ix} = 0$
$\sum F_{iy} = 0$
$\sum F_{iz} = 0$
Die Summe aller Kräfte in $x$-, $y$- und $z$-Richtung muss Null ergeben, damit sich das Tragwerk nicht in $x$-, $y$- und $z$-Richtungen verschiebt. Es befindet sich somit für alle Richtungen in Ruhe.
Methode
$\sum M_{ix} = 0$
$\sum M_{iy} = 0$
$\sum M_{iz} = 0$
Die Summe aller Momente um die $x$-, $y$- und $z$-Achse muss Null ergeben, damit das Tragwerk nicht um diese Achsen rotiert.
Für die $x,y$-Ebene gilt:
Methode
$\sum F_{ix} = 0$
$\sum F_{iy} = 0$
$\sum M_{iy} = 0$
Beispiel: Gleichgewichtsbedingungen anwenden
Beispiel
Gegeben sei das obige Tragwerk, welches durch eine Streckenlast und durch eine Einzellast belastet wird. Die Auflagerkräfte sollen bestimmt werden.
Gegeben: $q_0 = 5 \frac{kN}{m} $, $F = 15 kN$.
Wir wollen die Auflagerkräfte bestimmen. Wir betrachten innerhalb dieses Kurses ruhende Tragwerke, demnach können die Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Auflagerkräfte herangezogen werden.
Zunächst müssen wir das Tragwerk von den Lagern freischneiden und die Lagerkräfte abtragen:
In der obigen Grafik ist der Freischnitt gegeben. Anstelle der Lager sind die Lagerkräfte abgetragen. Das Loslager überträgt eine vertikale Kraft, das Festlager eine vertikale und eine horizontale Kraft. Die Streckenlast ist durch ihre resultierende Kraft ersetzt worden.
Hinweis
Zur Bestimmung der Lagerreaktionen wird eine Streckenlast durch ihre resultierende Kraft ersetzt. Dazu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst, indem der Flächeninhalt der gegebenen Streckenlast berechnet wird.
Im obigen Beispiel ist eine rechteckige Streckenlast gegeben. Der Flächeninhalt wird ermittelt, indem die Höhe $q_0$ mit der Länge $4m$ - über welche $q_0$ wirkt - multipliziert wird. Der Angriffspunkt der resultierenden Kraft ist immer der Schwerpunkt der Fläche. Hier handelt es sich um eine rechteckige Fläche, demnach liegt der Schwerpunkt in der Mitte (bei 2m).
Wir beginnen nun, mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene, die Auflagerkräfte zu bestimmen:
$\sum F_{ix} = 0$
$\rightarrow : F - B_h = 0$
$B_h = F = 15 kN$
$\sum F_{iy} = 0$
$\uparrow : A + B_v - q_0 \cdot 4m = 0$
Die Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung liefert zwei unbekannte Lagerkräfte $A$ und $B$. Wir betrachten zusätzlich die Momentengleichgewichtsbedingung und legen den Bezugspunkt in das Lager $A$ zur Berechnung von $B_v$ oder in das Lager $B$ zur Berechnung von $A$.
Sinnvoller ist es immer den Bezugspunkt so zu wählen, dass möglichst viele Kräfte wegfallen. Demnach ist es in diesem Fall sinnvoll den Bezugspunkt in das Lager $B$ zu legen, weil somit die Lagerkräfte $B_h$ und $B_v$ wegfallen. Diese üben kein Moment auf den Bezugspunkt aus, weil kein senkrechter Abstand vorhanden ist.
$\curvearrowleft B: - A \cdot 4m + F \cdot 1m + q_0 \cdot 4m \cdot 2m = 0$
$A = \frac{F \cdot 1m + q_0 \cdot 4m \cdot 2m}{4m} $
$A = \frac{15 kN \cdot 1m + 5 kN \cdot 4m \cdot 2m}{4m} = 13,75 kN$
Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung erhalten wir dann die Lagerkraft $B_v$:
$\uparrow : A + B_v - q_0 \cdot 4m = 0$
$B_v = -A + q_0 \cdot 4m $
$B_v = -13,75 kN + 5kN \cdot 4m = 6,25 kN$
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