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Häufig sind nicht nur Kräfte gegeben, welche in Richtung der Achsen zeigen, sondern auch Kräfte die in der Ebene bzw. im Raum wirken. Damit diese Kräfte innerhalb der Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigt werden können, müssen sie in Richtung der Achsen zerlegt werden.
Warum muss eine Kraft zerlegt werden?
Wir betrachten hierfür ein Tragwerk, welches durch äußere Kräfte belastet wird:
Damit das Tragwerk ruht, müssen sich alle äußeren Kräfte im Gleichgewicht befinden, d. h. die Summe aller Kräfte muss gleich Null sein. Es darf also keine Bewegung in $x$- und $y$-Richtung sowie keine Drehung in der $x,y$-Ebene auftreten.
Zur Berechnung des Gleichgewichts in eine Richtung dürfen nur die Kräfte berücksichtigt werden, deren Wirkungslinien genau in diese Richtung wirken. Betrachten wir also das obige Tragwerk, so haben wir die Kraft $F_1$ in $x$-Richtung gegeben und die Kraft $F_2$, welche sowohl in $x$- als auch in $y$-Richtung wirkt. Wollen wir nun das Gleichgewicht des Tragwerks in $x$-Richtung prüfen, so dürfen wir nur Kräfte berücksichtigen, deren Wirkungslinien mit der $x$-Richtung zusammenfallen. Genau so verhält es sich mit der Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung. Alle Kräfte, deren Wirkungslinien also nicht mit der $y$- oder $x$-Achse zusammenfallen, müssen zunächst in diese Richtungen zerlegt werden, damit sie innerhalb der Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigt werden können.
Merke
Eine Kraft, die in der $x,y$-Ebene wirkt, belastet den Körper sowohl in $x$- als auch in $y$-Richtung.
Das nachfolgende Video zeigt, wie die Kräftezerlegung von einer Kraft vorgenommen wird:
Kräftezerlegung
Die nachfolgende Grafik zeigt nochmals auf, wie eine Kraft in ihre Kraftkomponenten in Richtung der Achsen zerlegt wird:
Die Kraft $F$ soll in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt werden. Hierzu bedient man sich des Kosinus und Sinus. Grafisch führt man mit den Komponenten die Vektoraddition durch. Die Resultierende der Vektoraddition entspricht dabei genau der Kraft $F$. Es resultiert ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem die $x$-Komponente $F_x$ die Ankathete und die $y$-Komponente $F_y$ die Gegenkathete darstellt. Die Kraft $F$ ist die Hypotenuse. Mittels der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck können die Komponenten dann berechnet werden, indem die obigen Gleichungen nach diesen aufgelöst werden:
Methode
$F_x = F \cdot \cos(\alpha)$
$F_y = F \cdot \sin(\alpha)$
Wann ihr Kosinus und Sinus benutzt ohne jedes Mal eine grafische Vektoraddition durchführen zu müssen könnt ihr euch wie folgt merken:
Expertentipp
Die Kraftkomponente, die im Koordinatensystem an dem Winkel liegt, ist die Ankathete und wird mit dem Kosinus berechnet. Die Kraftkomponente auf der anderen Achse wird dann mit dem Sinus berechnet.
Beispiel: Kräftezerlegung
Beispiel
Gegeben sei der obige Träger, welcher durch die zwei äußeren Kräfte $F_1 = 15 N$ und $F_2 = 32 N$ belastet wird. Die Kraft $F_2$ weist einen Winkel von $\alpha = 50°$ zur Horizontalen auf. Bestimme die unbekannten Kräfte $A$, $B_x$ und $B_y$ mittels der Gleichgewichtsbedingungen.
Bevor die Gleichgewichtsbedingungen angewendet werden können, um die unbekannten Kräfte zu berechnen, muss als Erstes die Kräftezerlegung für alle Kräfte, die nicht in Richtung der $x$- und $y$-Achse zeigen, durchgeführt werden. Demnach muss die Kraft $F_2$ in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegt werden.
Kräftezerlegung
Die Kraft $F_2$ wird mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung gelegt. Der Winkel ist in der Aufgabenstellung zur Horizontalen gegeben. Die $x$-Achse ist horizontal und damit ist der Winkel zur $x$-Achse gegeben. Die Kraftkomponente $F_x$ liegt am Winkel und ist demnach die Ankathete. Diese wird mittels Kosinus berechnet:
Methode
$F_{2x} = F_2 \cdot \cos(\alpha) = 32 N \cdot \cos(50°) = 20,57 N$
$F_{2y} = F_2 \cdot \sin(\alpha) = 32 N \cdot \sin(50°) = 24,51 N$
Eintragen der Kraftkomponenten:
Nachdem die Kräftezerlegung durchgeführt wurde, können als Nächstes die unbekannten Kräfte mittels Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden.
Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:
$\sum F_x = 0 : -F_1 + F_{2x} + A - B_x = 0$ (1)
Aus der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung kann keine unbekannte Kraft berechnet werden, weil $A$ und $B_x$ unbekannt sind.
Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:
$\sum F_y = 0 : -F_{2y} + B_v = 0$ (2)
Methode
$B_v = F_{2y}= 24,51 N$
Momentengleichgewichtsbedingung um B:
$\sum M_i^B = 0: -A \cdot 2m + F_1 \cdot 1,5 m + F_{2y} \cdot 2m = 0$
Die Kraftkomponenten $F_{2x}$ fällt aus der Berechnung heraus, weil die Wirkungslinie der Kraft den Bezugspunkt B bereits schneidet.
$A = \frac{F_1 \cdot 1,5 m + F_{2y} \cdot 2m }{2m} = \frac{15 N \cdot 1,5 m + 24,51 N \cdot 2m }{2m} $
Methode
$A = 35,76 N$
Nachdem $A$ aus der Momentengleichgewichtsbedingung im Punkt $A$ bestimmt wurde, kann als Nächstes aus den Gleichgewichtsbedingungen in $x$-Richtung die Kraft $B_x$ bestimmt werden:
$-F_1 + F_{2x} + A - B_x = 0$
$B_x = -F_1 + F_{2x} + A = -15 N + 20,57 N + 35,76 N $
Methode
$B_x = 41,33 N$
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