Inhaltsverzeichnis
Die Quadranten des Einheitskreises
Merke
Quadrant I: $\; 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$
Quadrant II: $\; \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$
Quadrant III: $\; \pi < \alpha < \frac {3}{2} \pi$
Quadrant IV: $\; \frac {3}{2} \pi < \alpha < 2 \, \pi$
Merke
Das Bogenmaß mit der Einheit Radiant
Für die Betrachtungen am Einheitskreis verwenden wir nicht für einen Winkel nicht die Einheit Grad ($°$), welche wir für gewöhnlich zur Winkelberechnung benutzen. Am Einheitskreis verwenden wir zur Angabe eines Winkels das Bogenmaß mit der Einheit Radiant ($rad$), bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens des Einheitskreises angegeben wird. Die Länge des Kreisbogens $L_{KB}$ ist proportional dem Radius $L_r$ des Kreises. Die Dimension der Einheits $rad$ ist $1$, da wir die Länge des Kreisbogens durch die Länge des Radius' teilen:
$rad = \frac{L_{KB}}{L_r} = 1$
Aus diesem Grund können wir auf das Anhängen der Einheit zur Beschreibung des Winkels in Berechnungen verzichten.
Beispiel
Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius $r = 3 \, cm$. Ein Winkel von einem $rad$ entspricht auf dem Kreis einem Bogen der Länge von $3 \, cm$.
Ein Vollkreis besitzt den Umfang $U$ von $U = 2 \, \pi r$. Dementsprechend beträgt der Vollwinkel $\omega = 2 \, \pi \, rad$.
Methode
$\longrightarrow \alpha = 360° \widehat{=} \, 2 \; \pi$
$\longrightarrow \alpha = 180° \widehat{=} \, \pi$
$\longrightarrow \alpha = 90° \widehat{=} \frac{\pi}{2}$
$\longrightarrow \alpha = 60° \widehat{=} \frac{\pi}{3}$
$\longrightarrow \alpha = 45° \widehat{=} \frac{\pi}{4}$
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
In den vier Quadranten haben die trigonometrischen Funktionen folgende Vorzeichen:
| Quadrant | sin | cos | tan | cot |
| I | + | + | + | + |
| II | + | - | - | - |
| III | - | - | + | + |
| IV | - | + | - | - |
$sin(\alpha) \widehat{=}$ Abschnitt auf der $y$-Achse:
Alle Punkte auf dem Einheitskreis mit positiven $y$-Wert befinden sich oberhalb der $x$-Achse. Somit sind die Sinuswerte im I. und II. Quadranten ($0° \leq \alpha \leq 180°$) positiv. Im III. und IV. Quadranten ($180° \leq \alpha \leq 360°$), also unterhalb der $x$-Achse, sind die Sinuswerte negativ.
$cos(\alpha) \widehat{=}$ Abschnitt auf der $x$-Achse:
Alle Punkte auf dem Einheitskreis mit positiven $x$-Werten befinden sich auf der rechten Seite der $y$-Achse. Somit sind die Kosinuswerte im I. und IV. Quadranten ($270° \leq \alpha \leq 90°$) positiv. Alle $x$-Werte links von der $y$-Achse sind hingegen negativ, weshalb im II. und III. Quadranten ($90° \leq \alpha \leq 270°$) die Kosinuswerte negativ sind.
$sin(\alpha) = y$-Wert: Alle Punkte auf dem Einheitskreis mit positiven $y$-Wert befinden sich oberhalb der $x$-Achse. Somit sind der Sinuswert im I. und II. Quadranten positiv ist, hingegen ist der Sinuswert im III. und IV. Quadranten, also unterhalb der $x$-Achse, negativ.
$tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$:
Im I. Quadranten sind die Tangenswerte positiv, da Sinus und Kosinus beide positiv sind: $tan(\alpha) = \frac{(+)}{(+)} = (+)$. Im II. Quadranten ist: $tan(\alpha) = \frac{(+)}{(-)} = (-)$ im III. Quadranten: $tan(\alpha) = \frac{(-)}{(-)} = (+)$ und im IV. Quadranten: $tan(\alpha) = \frac{(-)}{(+)} = (-)$.
$cot(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$:
Da die Kotangensfunktion die Kehrwertfunktion der Tangensfunktion ist, sind die Vorzeichen in den jeweiligen Quadranten die gleichen wie die der Tangensfunktion.
Eigenschaften und Grenzwerte der trigonometrischen Funktionen
In der folgenden Tabelle sind die grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen aufgeführt:
| sinx | cosx | tanx | cotx | |
| Definitionsbereich D $\ f$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}, {x|x = \pi/2 + k\pi}$ | $\mathbb{R}, {x|x = k\pi}$ |
| Wertebereich W $\ f$ | $\ [-1, 1]$ | $\ [-1, 1]$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Nullstellen $\ x_0$ | $\ k\pi$ | $ \pi/2 + k\pi$ | $\ k\pi$ | $ \pi/2 + k\pi$ |
| Pole $\ x_p$ | - | - | $ \pi/2 + k\pi$ | $\ k\pi$ |
| Extrema $\ x_E$ | $ \pi/2 + k\pi$ | $\ k\pi$ | - | - |
| Wendepunkte $\ x_W$ | $\ k\pi$ | $ \pi/2 + k\pi$ | $\ k\pi$ | $ \pi/2 + k\pi$ |
| Asymptoten | - | - | $ y= \pi/2 + k\pi$ | $\ y= k\pi$ |
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