ZU DEN KURSEN!

Baustatik 1 - Momente

Kursangebot | Baustatik 1 | Momente

Baustatik 1

Momente

Inhaltsverzeichnis

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Das Moment $M$ ist wie die Kraft $F$ ein Vektor, was symbolisch durch $\vec{M}$ ausgedrückt wird.

In der nächsten Abbildung siehst du die Schiffschleuse in Falkirk (Schottland): 

Schleuse in Falkirk
Schleuse in Falkirk

Diese Schleuse nutzt Drehmomente um Binnenschiffe von einer Ebene auf eine andere Ebene zu senken/heben. Hierzulande werden Schleusen hingegen geflutet oder Wasser abgelassen.

Der Vektor des Drehmoments $\vec{M}$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Kraftvektor:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\vec{M} = \vec{F} \times \vec{r}$

Dabei ist $\vec{r}$ der Ortsvektor von einem bestimmten Bezugspunkt ausgehend zum Angriffspunkt der Kraft. Das Moment wird in der Einheit Newtonmeter $Nm = \frac{kg \; m^2}{s^2} m$ angegeben. 

Für einen ausgewählten Punkt (=Bezugspunkt) wird mit der obigen Berechnung das Moment berechnet, welches die Kraft auf diesen Punkt ausübt. Die Summe dieser Momente ergibt das resultierende Moment auf den gewählten Bezugspunkt.

In der Ebene ergibt sich das Moment $M$  einer Kraft bezüglich eines Bezugspunktes aus dem senkrechten Abstand $h$ der Kraft multipliziert mit dem Betrag der Kraft $F$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$M = F \cdot h$

Dabei ist $h$ der senkrechte Abstand der Wirkungslinie der Kraft hin zum Bezugspunkt. 

 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Satz: Das Moment ist am starren Körper ein freier Vektor.

Der Momentenvektor kann also am starren Körper, im Unterschied zum Kraftvektor, auch senkrecht zu seiner Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich seine Wirkung auf den starren Körper verändert.

Beispiel: Moment

Bestimmung von Momenten, Beispiel
Aufgabe: Momente bestimmen

 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei der obige Träger, welcher mit den Kräften $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 8 N$ belastet wird. Bestimm die Momente, welche $F_1$ und $F_2$ auf den Punkt $A$ ausüben.

Wir haben hier die ebene Darstellung gegeben. Das Moment ergibt sich aus Kraft (Betrag) mal Hebelarm (senkrechter Abstand). Wir wollen das Moment, welches die Kraft $F_1$ auf den Punkt $A$ ausübt als Erstes bestimmen:

$M_1^A = F_1 \cdot h$

Der Abstand $h$ ist dabei der senkrechte Abstand der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ zum Bezugspunkt. 

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Für die Berechnung des senkrechten Abstandes könnt ihr wie folgt vorgehen: Verschiebt die Kraft $F_1$ gedanklich so lange parallel zu sich selbst, bis die Wirkungslinie der Kraft $F_1$ den Bezugspunkt $A$ schneidet. Der Weg der Parallelverschiebung ist dann der senkrechte Abstand $h$.


Grafisch visualisiert sieht das dann so aus:

Moment der Kraft F1 auf den Bezugspunkt A
Moment der Kraft F1 auf den Bezugspunkt A

 

Es ergibt sich demnach:

$M_1^A = F_1 \cdot h = -10 N \cdot 0,5m = -5 Nm$


Warum wird das Moment negativ? In der Mechanik hat sich als positiver Drehsinn die Linksdrehung durchgesetzt. Die Kraft $F_1$ übt aber ein rechtsdrehendes Moment auf den Punkt A aus. 

Wie kann man erkennen, ob ein rechtsdrehendes oder linksdrehendes Moment vorliegt?

Dazu stellt man sich den Träger im Bezugspunkt ($A$) gedanklich fixiert vor. Danach betrachtet man die Kraft, für welche das Moment bestimmt werden soll, und überlegt, in welche Richtung diese Kraft den Träger um den Bezugspunkt drehen würde:

Drehsinn Moment M1
Drehsinn Moment M1


Genauso wie für die Kraft $F_1$ gehen wir für die Kraft $F_2$ vor. Welches Moment übt die Kraft $F_2$ auf den Punkt $A$ aus?

Bitte Beschreibung eingeben
Moment der Kraft F2 auf den Bezugspunkt A


Wir erhalten also:

$M_2^A = F_2 \cdot h = - 8 N \cdot 2m = -16 Nm$

Der Drehsinn ist auch hier negativ, weil die Kraft $F_2$ den Träger in einer Rechtsdrehung (mit dem Uhrzeigersinn) um den Bezugspunkt dreht.

Drehsinn Moment M2
Drehsinn Moment M2

 

Es kann nun die Summe gebildet werden:

$M^A = M_1^A + M_2^A = -5 Nm - 16 Nm = -21 Nm$

Insgesamt üben die Kraft $F_1$ und die Kraft $F_2$ zusammen ein Moment von -21 Nm auf den Punkt A aus.