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Physik - Trägheitsmoment

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Physik

Trägheitsmoment

Wie wir bereits in diesem Kapitel kennengelernt haben hängt die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers von der einwirkenden Kraft und der Masse des Körpers ab:

$F = ma$

Der Körper wird aufgrund der einwirkenden Kraft beschleunigt:

$a = \frac{F}{m}$

Nach Umstellung der Gleichung sieht man also, dass die Bewegungsänderung des Körpers von der Masse $m$ und der Kraft $F$ abhängt.

Trägheitsmoment

Bei der Rotation hängt die Bewegungsänderung hingegen vom Drehmoment und vom Trägheitsmoment ab.

Merke

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Das Trägheitsmoment zeigt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist.


Berechnet wird das Trägheitsmoment eines drehbar gelagerten Körpers durch:

Methode

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$J = \int s^2 \; dm$                       Trägheitsmoment

mit

$s$ senkrechter Abstand von der Masse zum Drehpunkt, bei einer Kreisbewegung der Radius $r$

bzw.

Methode

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$J = \sum(m_i \cdot s_i^2)$                       Trägheitsmoment

Die beiden obigen Gleichungen werden herangezogen, wenn es sich um einen beliebig geformten Körper handelt. Dabei zeigt die untere Gleichung die Summe der Trägheitsmomente aller einzelnen Teilstücke des Körpers. Hierzu stellt man sich den Körper aus einer Vielzahl von einzelnen Massenstücken zusammengesetzt vor, die die jeweils im senkrechten Abstand $s_i$ von der Drehachse entfernt liegen. 

Trägheitsmoment
Trägheitsmoment: Kreisscheibe

Jeder Punkt auf der obigen Kreischreibe besitzt einen anderen senkrechten Abstand $r$ zur Drehachse. Um das Trägheitsmoment zu berechnen, kann die Kreisscheibe zum Beispiel in viele kleine Massenstücke $m_i$ zerlegt und der jeweilige Abstand zur Drehachse berücksichtigt werden. Die Summe der Trägheitsmomente aller Einzelstücke ergibt dann das Trägheitsmoment der gesamten Kreisscheibe.

Massenpunkt auf Kreisbahn

Betrachten man einen Massenpunkt, welche um eine feste Drehachse rotiert, also eine Kreisbewegung ausübt, so ist der Radius, also der senkrechte Abstand, vom Massenpunkt hin zur Drehachse konstant. Hier gilt also:

Methode

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$J =  r^2  \cdot m$       Trägheitsmoment Massenpunkt

Trägheitsmoment
Trägheitsmoment: Massenpunkt

In der obigen Grafik ist ein Massenpunkt auf einer Kreisbahn veranschaulicht. Der Massenpunkt weist zu jeder Zeit den selben Abstand zur Drehachse auf, weshalb der Radius $r$ konstant ist.

Drehmoment

Das Drehmoment haben wir bereits kennengelernt. Es ist möglich das Drehmoment in Abhängigkeit vom Trägheitsmoment anzugeben:

Methode

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$M = J \cdot \alpha$

mit

$J$ Trägheitsmoment

$\alpha$ Winkelbeschleunigung