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Baustatik 1 - Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte

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Baustatik 1

Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte

Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte

Prinzip der virtuellen Kräfte, Verschiebung, Verdrehung
PdvK - Beispiel am Rahmen

Beispiel

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Gegeben sei der obigen Dreigelenkrahmen, welcher auf zwei Festlagern gelagert ist und durch eine konstante Streckenlast belastet wird.

Gegeben: $I = 18.000 cm^4$ , $A = 120 cm^2$, $E = 2,1 \cdot 10^8 kN/m^2$

Bestimme die vertikale Verschiebung des Gelenks $g$ infolge der äußeren Streckenlast.

Es ist der Einfluss der Normalkraftverformung und der Verformung infolge Biegemomente zu berücksichtigen.

Zunächst bestimmen wir für das Ausgangssystem die Schnittgrößenverläufe (Normalkraft und Biegemoment).

Auflagerkräfte bestimmen

Zunächst bestimmen wir die Auflagerreaktionen des Systems:

Prinzip der virtuellen Kräfte, Auflagerkräfte
Auflagerkräfte bestimmen

Die Auflagerkräfte $A_v$ und $D_v$ können aus den Momentengleichgewichtsbedingungen berechnet werden, weil diese auf derselbe Höhe liegen und damit die Auflagerkräfte $A_h$ und $D_h$ herausfallen:

$\curvearrowleft_a : D_v \cdot 6 m - (15 kN/m \cdot 4m) \cdot 4m = 0$

$D_v = \frac{(15 kN/m \cdot 4m) \cdot 4m}{6m} = 40 kN$

$\curvearrowleft_d : -A_v \cdot 6m + 15 kN/m \cdot 4m \cdot 2m = 0$

$A_v = \frac{(15 kN/m \cdot 4m) \cdot 2m}{6m} = 20 kN$

 

Als nächstes müssen wir die horizontalen Kräfte $A_h$ und $D_h$ berechnen. Diese können berechnet werden, indem der Rahmen im Gelenk freigeschnitten wird und wir einen der Teilrahmen zur Berechnung verwenden. Wichtig ist hierbei, dass die Streckenlast links und rechts vom Gelenk gegeben ist und damit auch auf beiden Seiten berücksichtigt werden muss. Hier bilden wir die Resultierenden der Streckenlast an den jeweiligen Teilbalken:

pdvk, Auflagerkräfte
Auflagerkräfte berechnen

 

Wir wählen einen der Teilbalken und legen den Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung in das Gelenk. So müssen wir nicht extra die Gelenkkräfte bestimmen.

Rechter Teilbalken:

$\curvearrowleft : D_v \cdot 1m - D_h \cdot 3m - R_q \cdot 0,5m = 0$

$D_h \dot 3m = D_v \cdot 1m - R_q \cdot 0,5 m = 40 kN \cdot 1m - 15 kN \cdot 0,5m$

$D_h = 10,83 kN$

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung am Gesamtsystem ergibt sich:

$\rightarrow : A_h - D_h = 0$

$A_h = D_h = 10,83 kN$.

 

Zusammenfassung der Auflagerkräfte:

AuflagerkraftBetrag
$A_v$20 kN
$A_h$10,83 kN
$D_v$40 kN
$D_h$10,83 kN

Schnittgrößen bestimmen

Als nächstes berechnen wir den Normalkraftverlauf und den Momentenverlauf. Wir müssen am Rahmen drei Schnitte zwischen a-b, b-c und c-d durchführen und tragen für jeden Schnittbereich die Laufkoordinaten $x_i$ und $z_i$ ab. Dabei orientieren wir uns an der gestrichelten Faser. Die x-Achse verläuft immer parallel zur gestrichelten Faser, die z-Achse senkrecht dazu:

Schnittgrößen, Schnitte
Schnitte durchführen

 

Für den 1.Schnitt werden die Gleichgewichtsbedingungen in $x_1$-Richtung und $z_1$-Richtung zur Berechnung der Schnittgrößen betrachtet. Die Auflagerkräfte $A_v$ und $A_h$, welche innerhalb dieses Schnittbereichs liegen, zeigen nicht in Richtung einer dieser Achsen. Wir müssen hier also eine Kräftezerlegung von $A_v$ und $A_h$ in Richtung der $x_1$- und $z_1$-Achsen vornehmen, damit wir diese innerhalb der Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigen können. Wir benötigen hierzu die Winkel von $A_v$ und $A_h$ zur Balkenachse. Um diese bestimmen zu können, betrachten wir das folgende rechtwinklige Dreieck:

Prinzip der virtuellen Kräfte, Trigonometrie
Trigonometrie anwenden

 

Der Winkel $\alpha$ beträgt:

$\tan(\alpha) = \frac{text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{3m}{2m}$

Methode

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$\alpha = arctan (\frac{3m}{2m}) = 56,31°$

Dies ist der Winkel von der Balkenachse zur Horizontalen. Da die Auflagerkraft $A_h$ eine Horizontalkraft darstellt, kann diese mit dem Winkel von 56,31° in Richtung der $x_1, z_1$-Achsen zerlegt werden.

Da die Auflagerkraft $A_v$ eine vertikale Kraft darstellt, suchen wir den Winkel von der Balkenachse zur Vertikalen. Ein Dreieck hat 180°. Bei einem rechtwinkligen Dreieck (mit 90° Winkel) ergibt sich dann:

Methode

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$180° - 90° - 56,31° = 33,69°$

Mithilfe dieses Winkels kann die Kraft $A_v$ in Richtung der $x_1$-Achse und $z_1$-Achse zerlegt werden.

Für die Kräftezerlegung ist es sinnvoll das betrachtete Koordinatensystem zu skizzieren und die Kraft, die zerlegt werden soll, mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung zu legen und die berechneten Winkel einzutragen. Es wird so gleich deutlich in welche Richtung die Kraftkomponenten wirken (in Richtung der negativen oder positivenn Achsen):

Prinzip der virtuellen Kräfte, Kräftezerlegung
Kräftezerlegung

 

Wir können die Kräfte noch zusammenfassen. Die Summe der Kräfte in Richtung der $x_1$-Achse ergeben:

$\sum F_{x_1} = A_h \cos (56,31°) + A_v \cos (33,69°) = 10,83 kN \cos (56,31°) + 20 kN \cos (33,69°) = 22,65 kN$.

Die Summe der Kräfte in $z_1$-Richtung ergeben:

$\sum F_{z_1} = A_h \sin (56,31°) - A_v \sin (33,69°) = 10,83 kN \sin (56,31°) - 20 kN \sin (33,69°) = -2,08 kN$.

Die Kraftkomponenten von $A_v$ in $z_1$-Richtung wird negativ, weil sie in Richtung der negativen $z_1$-Achse wirkt. Die Summe der Kräfte in $z_1$-Richtung wird dadurch negativ, d.h. sie zeigt in Richtung der negativen $z_1$-Achse.

1. Schnittbereich

Prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittbereich, Normalkraft, Biegemoment
Schnitt 1

 

In der obigen Grafik sind die Schnittgrößen (Normalkraft, Biegemoment) sowie die zerlegten und summierten Auflagerkräfte eingezeichnet. Wir bestimmen mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen die beiden Schnittgrößen:

$\nearrow : N_1 + 22,65 kN = 0$

$N_1 = -22,65 kN $

 

$\curvearrowleft: M_1 - 2,08 kN \cdot x_1 = 0$

$M_1 = 2,08 kN \cdot x_1$

2. Schnittbereich

Prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittgrößen
Schnitt 2

 

Beim 2. Schnittbereich können die Auflagerkräfte $A_v$ und $A_h$ wieder ohne Zerlegung betrachtet werden, da die beiden Auflagerkräfte in Richtung der $x_2, z_2$-Achsen wirken.

Für die Berechnung der Schnittgrößen kann das Gelenk vernachlässigt werden, d.h. es wird vor oder nach dem Gelenk geschnitten und dieses nicht weiter beachtet. Da es sich im ein Momentengelenk handelt, nimmt die Momentengleichgewichtsbedingung an der Stelle an welcher sich das Gelenk befindet den Wert Null an.

Die Teilresultierende der rechteckigen Streckenlast muss gebildet werden. Diese ergibt sich, durch Höhe mal Länge. Die Länge ist in diesem Fall $x_2$, weil die Länge des Balkens und damit der wirkenden Streckenlast abhängig davon ist, an welcher Stelle der Schnitt durchgeführt wird. Diese wirkt im Schwerpunkt der Teilstreckenlast, bei der Hälfte der Länge $\frac{x_2}{2}$. Dies ist auch gleichzeitig der Hebelarm der Resultierenden zum Schnitt.

$\rightarrow : N_2 + A_h = 0$

$N_2 = -A_h = -10,83 kN$

$\curvearrowleft : M_2 - A_v \cdot (2m + x_2) + A_h \cdot 3m + 15 kN/m \cdot x_2 \cdot \frac{x_2}{2} = 0$

$M_2 = A_v \cdot (2m + x_2) - A_h \cdot 3m - 7,5 kN/m \cdot x_2^2$

$M_2 = A_v \cdot 2m + A_v \cdot x_2 - A_h \cdot 3m - 7,5 kN/m \cdot x_2^2$

$M_2 = 40 kNm + 20 kN \cdot x_2 - 10,83 kN \cdot 3m - 7,5 kN/m \cdot x_2^2$

$M_2 = 40 kNm + 20 kN \cdot x_2 - 32,49 kNm - 7,5 kN/m \cdot x_2^2$

$M_2 = - 7,5 kN/m \cdot x_2^2 + 20 kN \cdot x_2 + 7,51 kNm$

 

Probe: Gelenk an der Stelle $x_2 = 3m$:

$M_2 = - 7,5 kN/m \cdot (3m)^2 + 20 kN \cdot 3m + 7,51 kNm \approx 0$

Da das Momentengelenk keine Momente überträgt, wird die Momentengleichung an der Stelle zu Null.

3. Schnittbereich

Prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittgrößen
Schnitt 3

 

Hier betrachten wir das rechte Schnittufer.

Merke

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Schnittgrößen am rechte Schnittufer sind genau entgegengesetzt zu den Schnittgrößen am linken Schnittufer gerichtet.

Es ist ebenfalls möglich das linke Schnittufer zu wählen, dann muss aber die Laufkoordinate $x_3$ genau entgegengesetzt gerichtet sein und beginnt im Punkt c (siehe Aufgabenstellung). Da bei Wahl des linken Schnittufers die Streckenlast sowie die Auflagerkräfte $A_v$ und $A_H$ in die Berechnungen eingehen müssen, ist die Wahl auf das rechte Schnittufer gefallen (die Berechnung fällt einfacher aus).

$\uparrow : N_3 + D_v = 0$

$N_3 = - D_v = -40 kN$

$\curvearrowleft : -M_3 - D_h \cdot x_3 = 0$

$M_3 = -D_h \cdot x_3 = -10,83 kN \cdot x_3$

Zusammenfassung der Schnittgrößenverläufe

$N_1 = -22,65 kN $

$M_1 = 2,08 kN \cdot x_1$

$N_2 = -10,83 kN$

$M_2 = - 7,5 kN/m \cdot x_2^2 + 20 kN \cdot x_2 + 7,51 kNm$

$N_3 = -40 kN$

$M_3 = -10,83 kN \cdot x_3$

Grafische Schnittgrößenverläufe

Es sind alle Schnittgrößen berechnet. Als nächstes können wir die Schnittgrößenverläufe einzeichnen:

Biegemomentverlauf, Normalkraftverlauf, Prinzip der virtuellen Kräfte
Schnittgrößenverlauf

 

Der Normalkraftverlauf ist in jedem Schnittbereich konstant und negativ. Die negativen Schnittgrößenverläufe werden oberhalb der Achsen abgetragen (in Richtung der negativen z-Achsen).

Der Biegemomentverlauf ist im ersten Bereich $0 \le x_1 \le 3,61$ linear und positiv. Wir setzen die Randwerte in den Momentenverlauf ein und erhalten so die Gerade:

Lager $A$ bei $x_1 = 0$: $M_1 = 2,08 kN \cdot 0 = 0 $

Punkt b bei $x_1 = 3,61$: $M_1 = 2,08 kN \cdot 3,61 = 7,51 kNm$.

Hinweis

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Der Randwert von 3,61 stellt die Gesamtlänge des Balkens im 1. Bereich dar. Diesen können wir über den Satz des Pythagoras ermitteln durch:

$\sqrt{2^2 + 3^2} = 3,61$

Im zweiten Bereich ist der Momentenverlauf eine quadratische Parabel. Dies wird auch an der rechteckigen Streckenlast deutlich. Ist eine rechteckige Streckenlast gegeben, so ist der Querkraftverlauf linear und der Momentenverlauf eine quadratische Parabal. Wir setzen auch hier die Randwerte ein:

Im Punkt b bei $x_2 = 0$: $M_2 = 7,51 kNm$

Im Punkt c bei $x_2 = 4m$: $M_2 = - 7,5 kN/m \cdot (4m)^2 + 20 kN \cdot 4m + 7,51 kNm = -32,49 kNm$

Der Biegemomentverlauf im Punkt b ist für den 1. und 2. Bereich identisch.

Da bei $x_2 = 3m$ ein Momentengelenk gegeben ist, welches keine Momente überträgt, ist hier der Momentenverlauf Null. Wir haben also einen Nulldurchgang des Momentenverlaufs an dieser Stelle gegeben. Damit wehselt das Vorzeichen von positiv zu negativ. 

Expertentipp

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Grundsätzlich kann man herausfinden, ob ein Nulldurchgang gegeben ist, wenn man die Nullstellen der Funktion berechnet. Wir haben eine quadratische Funktion gegeben und wenden die p/q-Formel an:

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Momentenverlauf auf die Form $x^2 + bx + c $ bringen:

$- 7,5  x_2^2 + 20 \cdot x_2 + 7,51 $  |: (-7,5)

$x_2 - 2,67 x_2 - 1$

Einsetzen:

$x_{1,2} = - \frac{-2,67}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)}$

$x_1 = - \frac{-2,67}{2} + \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)} = 3$

$x_2 = - \frac{-2,67}{2} - \sqrt{(\frac{-2,67}{2})^2 - (-1)} = -0,33$

Der 2. Bereich geht von $0 \le x_2 \le 4$. Demnach liegt für den relevanten Bereich der Nulldurchgang bei $x_2 = 3$ (Momentengelenk) vor. $x_2 = -0,33$ liegt außerhalb des Definitionsbereichs und kann demnach vernachlässigt werden.

Der Biegemomentverlauf des dritten Bereichs ist wieder linear. Wir berechnen die Randwerte:

Im Punkt c bei $x_3 = 3m$: $M_3 = -10,83 kN \cdot 3m = -32,49 kNm$

Im Lager $D$ bei $x_3 = 0$: M_3 = -10,83 kN \cdot 0 = 0$

Der Biegemomentverlauf im Punkt c ist für den 2. und 3. Bereich identisch.

Hier unbedingt darauf achten die $x_3$-Werte richtig einzusetzen. Da wir die $x_3$-Achsen im Lager $D$ beginnend abgetragen haben, gilt im Lager D $x_3 = 0$ und am Ende des zweiten Bereichs im Punkt c $x_3 = 3m$.

Virtuelles System

Wir sollen die vertikale Verschiebung des Gelenks $g$ infolge der äußeren Streckenlast bestimmen. Dazu müssen wir ein virtuelles System aufstellen, in welchem wir eine Kraft in Richtung der Verschiebung ansetzen:

prinzip der virtuellen Kräfte, virtuelles System
Virtuelles System

 

Die Aufgabenstellung fordert die Berechnung der vertikalen Verschiebung im Gelenk (Punkt g). Es wird eine Einheitskraft mit dem Betrag von $1 kN$ (Einheit entsprechend der Einheiten der anderen Kräfte) in Richtung der Verschiebung abgetragen. In diesem Beispiel ist klar erkennbar, dass infolge der Streckenlast die vertikale Verschiebung des Gelenks nach unten erfolgt.

Hinweis

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Es ist ebenfalls zulässig die Kraft nach oben gerichtet einzuzeichnen (wenn die Richtung der Verschiebung mal nicht deutlich zu erkennen sein sollte). Resultiert am Ende eine positive Verschiebung, so liegt die Verschiebung in Richtung der angenommenen $\overline{1}$-Kraft vor, bei einer negativen Verschiebung genau entgegengesetzt.

Der Überstrich über der $1$ soll deutlich machen, dass hier das virtuelle System betrachtet wird. Im virtuellen System werden die Auflagerkräfte übernommen (nur die Richtungen, nicht die Beträge), die äußeren Kräfte (hier: Streckenlast) werden nicht übernommen.

Für das virtuelle System sind als nächstes die Schnittgrößenverläufe notwendig. Hierfür müssen wir zunächst die Lagerkräfte bestimmen.

Lagerkräfte bestimmen

Die Auflagerkräfte $A_v$ und $D_v$ können aus den Momentengleichgewichtsbedingungen berechnet werden, weil diese auf derselbe Höhe liegen und damit die Auflagerkräfte $A_h$ und $D_h$ herausfallen:

$\curvearrowleft_a : D_v \cdot 6 m - \overline{1} kN \cdot 5m = 0$

$D_v = \frac{\overline{1} kN \cdot 5m }{6m} = 0,833 kN$

$\curvearrowleft_d : -A_v \cdot 6m + \overline{1} kN \cdot 1m = 0$

$A_v = \frac{\overline{1} kN \cdot 1m}{6m} = 0,167 kN$

Als nächstes müssen wir die horizontalen Kräfte $A_h$ und $D_h$ berechnen. Diese können berechnet werden, indem der Rahmen im Gelenk freigeschnitten wird und wir einen der Teilrahmen zur Berechnung verwenden.

virtuelles System, Gelenkkräfte, Auflagerkräfte, Prinzip der virtuellen Kräfte
Auflagerkräfte im virtuellen System

 

Merke

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Greift an einem Gelenk eine äußere Kraft an, so kann sie beim Freischnitt entweder an dem einen oder dem anderen Schnittufer eingezeichnet werden

Wir wählen einen der Teilbalken und legen den Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung in das Gelenk. So müssen wir nicht extra die Gelenkkräfte bestimmen.

Rechter Teilbalken:

$\curvearrowleft : D_v \cdot 1m - D_h \cdot 3m = 0$

$D_h \cdot 3m = D_v \cdot 1m = 0,833 kN \cdot 1m$

$D_h = 0,278 kN$

Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung am Gesamtsystem ergibt sich:

$\rightarrow : A_h - D_h = 0$

$A_h = D_h = 0,278 kN$.

Zusammenfassung der Auflagerkräfte im virtuellen System (mit Überstrich um diese von den Auflagerkräfte des Gesamtsystems abzugrenzen):

AuflagerkraftBetrag
$\overline{A_v}$0,167 kN
$\overline{A_h}$0,278 kN
$\overline{D_v}$0,833 kN
$\overline{D_h}$0,278 kN

Schnittgrößen berechnen

In einem nächsten Schritt müssen die Schnittgrößen bestimmt werden. Hierzu müssen die folgenden Schnitte durchgeführt werden:

prinzip der virtuellen Kräfte, Schnitte
Schnitte im virtuellen System

 

Wir wählen wir den I. und II. Schnitt das linke Schnittufer und für den III. und IV. Schnitt das rechte Schnittufer. Die Laufkoordinaten sind dann wie folgt gegeben:

prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittbereich, Schnittufer
Schnittbereiche im virtuellen System

1. Schnitt

Für den 1. Schnitt müssen die Auflagerkräfte $A_v = 0,167 kN$ und $A_h = 0,278 kN$ wieder in Richtung der $x_1,z_1$-Achsen zerlegt werden (Winkelberechnung siehe oben):

Prinzip der virtuellen Kräfte, Kräftezerlegung
Kräftezerlegung

 

Wir können die Kräfte noch zusammenfassen. Die Summe der Kräfte in Richtung der $x_1$-Achse ergeben:

$\sum F_{x_1} = A_h \cos (56,31°) + A_v \cos (33,69°) = 0,278 kN \cos (56,31°) + 0,167 kN \cos (33,69°) = 0,293 kN$.

Die Summe der Kräfte in $z_1$-Richtung ergeben:

$\sum F_{z_1} = A_h \sin (56,31°) - A_v \sin (33,69°) = 0,278 kN \sin (56,31°) - 0,167 kN \sin (33,69°) = 0,139 kN$.

Die Kraftkomponenten von $A_v$ in $z_1$-Richtung wird negativ, weil sie in Richtung der negativen $z_1$-Achse wirkt.


Wir können als nächstes die Schnittgrößen des 1. Schnittbereichs berechnen:

prinzip der virtuellen kräfte, schnitt 1
Schnitt 1 im virtuellen System

 

$\nearrow : N_1 + 0,293 kN = 0$

$N_1 = -0,293 kN $

$\curvearrowleft: M_1 + 0,139 kN \cdot x_1 = 0$

$M_1 = -0,139 kN \cdot x_1$

2. Schnitt

prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittgrößen
Schnitt 2 im virtuellen System

 

$\rightarrow : N_2 + A_h = 0$

$N_2 = -A_h = -0,278 kN $


$\curvearrowleft : M_2 + A_h \cdot 3m - A_v \cdot (2m + x_2) = 0$

$M_2 = -A_h \cdot 3m + A_v \cdot (2m + x_2)$

$M_2 = -0,278 kN \cdot 3m + 0,167 kN \cdot (2m + x_2)$

$M_2 = -0,834 kNm + 0,334 kNm + 0,167 kN \cdot x_2$

$M_2 = 0,167 kN \cdot x_2 - 0,5 kNm$

Schnitt 3

Prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittgrößen, virtuelles System
Schnitt 3 im virtuellen System

 

$\rightarrow : -N_3 - D_h = 0$

$N_3 = -D_h = -0,278 kN$

$\curvearrowleft : -M_3 + D_v \cdot x_3 - D_h \cdot 3m = 0$

$M_3 = D_v \cdot x_3 - D_h \cdot 3m$

$M_3 = 0,833 kN \cdot x_3 - 0,834 kNm$

Schnitt 4

Prinzip der virtuellen Kräfte, Schnittgrößen, virtuelles System
Schnitt 4 im virtuellen System

 

$\uparrow : N_4 + D_v = 0$

$N_4 = -D_v = - 0,833 kN $


$\curvearrowleft : -M_4 - D_h \cdot x_4 = 0$

$M_4 = - D_h \cdot x_4$

$M_4 = - 0,278 kN \cdot x_4$


Zusammenfassung der Schnittgrößen im virtuellen System:

$N_1 = -0,293 kN $

$M_1 = -0,139 kN \cdot x_1$

$N_2 = -0,278 kN $

$M_2 = 0,167 kN \cdot x_2 - 0,5 kNm$

$N_3 = -0,278 kN$

$M_3 = 0,833 kN \cdot x_3 - 0,834 kNm$

$N_4 = - 0,833 kN $

$M_4 = - 0,278 kN \cdot x_4$

Grafische Schnittgrößenverläufe

Als nächstes werden die grafischen Schnittgrößenverläufe eingezeichnet:

Prinzip der virtuellen Kräfte, grafische Schnittgrößenverläufe
Grafische Schnittgrößenverläufe im virtuellen System

Verschiebung berechnen

Nachdem die Schnittgrößenverläufe des Ausgangssystems und des virtuellen Systems bestimmt wurden, können wir als nächstes die vertikale Verschiebung am Gelenk bestimmen. Hierzu verwenden wir die folgenden Gleichungen:

$\overline{W}_a = \overline{1} \cdot d$

$\overline{W}_a$ ist die äußere Verschiebungsarbeit infolge der virtuellen Kraft $\overline{1}$ auf dem Verschiebungsweg $d$. Dabei ist $d$ die gesuchte vertikale Verschiebung im Gelenk.


$-\overline{W}_i = \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \frac{\overline{Q} Q}{GA_s} + \frac{\overline{M} M }{EI} + \frac{\overline{M}_{T} M_{T}}{G I_P}$

       $+ \overline{N} \alpha_{th} \cdot T_0 + \overline{M} \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}] dx$

       $+ \sum \frac{\overline{F} F}{k_F} + \sum \frac{\overline{M} M}{k_M}$

       $- \sum \overline{A} (\overline{1}) \cdot w - \sum \overline{M}_A (\overline{1}) \cdot \varphi$

$\overline{W}_i$ ist die innere Verschiebungsarbeit der inneren virtuellen Kräfte (Schnittgrößen etc.).


Es gilt der Arbeitssatz:

$\overline{W}_a = - \overline{W}_i$


Und damit ergibt sich:

Methode

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$\overline{1} \cdot d =  \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \frac{\overline{M} M }{EI}] dx$

Es sind nur die beiden Terme mit der Normalkraft und dem Biegemoment relevant. Alle anderen Terme fallen aus der Berechnung raus.

Wichtig ist, dass die obige Gleichung auf alle Schnittbereiche angewendet werden muss. Dazu führen wir das Summenzeichen ein:

$\overline{1} \cdot d = \sum_{i = 1}^4 \int [ \frac{\overline{N_i} N_i}{EA} + \frac{\overline{M_i} M_i }{EI}] dx_i$

Damit ergibt sich:

$\overline{1} \cdot d = \int [ \frac{\overline{N_1} N_1}{EA} + \frac{\overline{M_1} M_1}{EI}] dx_1+  $

                                 $\int [ \frac{\overline{N_2} N_2}{EA} + \frac{\overline{M_2} M_2}{EI}] dx_2 $

                                 $\int [ \frac{\overline{N_3} N_3}{EA} + \frac{\overline{M_3} M_3}{EI}] dx_3 $

                                 $\int [ \frac{\overline{N_4} N_4}{EA} + \frac{\overline{M_4} M_4}{EI}] dx_4 $

Das Ausgangssystem weist im Gegensatz zum virtuellen System nur 3 Schnittbereiche auf. Wir müssen demnach für das Ausgangssystem auch vier Schnittbereiche betrachten (dieselben wir für das virtuelle System). Da wir die obigen Integrale mittels Koppeltafel lösen, können wir uns komplett an den grafischen Schnittgrößenverläufen orientieren und die Aufteilung in vier Schnittbereiche des Ausgangssystems (Schnittbereich 2 wird in eins vor und eins nach dem Gelenk aufgeteilt) ist unproblematisch.

Berechnen von $EA$ und $EI$ aus der Aufgabenstellung:

$I = 18.000 cm^4$ , $A = 120 cm^2$, $E = 2,1 \cdot 10^8 kN/m^2$

 
Wir haben hier die Kräfte in kN und die Momente in kNm berechnet. Demnach müssen wir die Dehnsteifigkeit $EA$ und die Biegesteifigkeit $EI$ dieser Einheit anpassen.

$I = 18.000 cm^4 =  10^{-8} \cdot 18.000 m^4 = 0,00018 m^4$

$A = 120 cm^2 = 10^{-4} \cdot 120 m^2 = 0,012 m^2$

 
Demnach:

$EA = 2,1 \cdot 10^8 kN/m^2 \cdot 0,012 m^2 = 2.520.000 kN$

$EI = 2,1 \cdot 10^8 kN/m^2 \cdot 0,00018 m^4 = 37.800 kNm^2$

Anwendung der Koppeltafel

Es ist sinnvoll die Integrale mittels Koppeltafel zu lösen, weil hier nur die grafischen Schnittgrößenverläufe des Ausgangssystems und des virtuellen Systems betrachtet werden müssen und wir aus der Koppeltafel die Ergebnisse der Integration ablesen können.

Hinweis

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Die Koppeltafel findet ihr links im Ordner Materialien.

Zunächst betrachten wir die Normalkraftverläufe von Ausgangssystem und virtuellen System.

1. Schnittbereich $0 \le x_1 \le 3,61$

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -22,65

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,293

Wir müssen nun den rechteckigen Verlauf in Zeile und Spalte suchen. Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1. Die Werte innerhalb der Koppeltafel übernehmen wir:

$lik$

Dabei ist $l$ die Länge des betrachteten Schnittbereichs (hier: 3,61m), $i$ die Höhe des einen Rechtecks und $k$ die Höhe des anderen Rechtecks.

$\int \overline{N}_1 N_1 dx_1 = 3,61 \cdot (-22,65) \cdot (-0,293)$

Die Dehnsteifigkeit ist innerhalb der Koppeltafel nicht berücksichtigt, diese müssen wir also zusätzlich einfügen:

$\int \frac{\overline{N}_1 \cdot N_1}{EA} dx_1 = \frac{1}{EA} \cdot 3,61 \cdot (-22,65) \cdot (-0,293)$

Einsetzen von $EA$:

Methode

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$\int \frac{\overline{N}_1 \cdot N_1}{EA} dx_1 = \frac{1}{2.520.000} \cdot 3,61 \cdot (-22,65) \cdot (-0,293) = 9,507 \cdot 10^{-6}$

2. Schnittbereich $0 \le x_2 \le 3$ (von Punkt b bis g)

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -10,83

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,278

Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1:

$lik$

$\int \overline{N}_2 N_2 dx_2 = 3 \cdot (-10,83) \cdot (-0,278)$

Methode

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$\int \frac{\overline{N}_2 \cdot N_2}{EA} dx_2 = \frac{1}{2.520.000} \cdot 3 \cdot (-10,83) \cdot (-0,278) = 3,584 \cdot 10^{-6}$

3. Schnittbereich $0 \le x_3 \le 1$ (von Punkt g bis c)

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -10,83

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,278

Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1:

$lik$

$\int \overline{N}_3 N_3 dx_3 = 1 \cdot (-10,83) \cdot (-0,278)$

Methode

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$\int \frac{\overline{N}_3 \cdot N_3}{EA} dx_3 = \frac{1}{2.520.000} \cdot 1 \cdot (-10,83) \cdot (-0,278) = 1,195 \cdot 10^{-6}$

4. Schnittbereich $0 \le x_4 \le 3$ (von Punkt c bis d)

Ausgangssystem: rechteckiger Verlauf mit Höhe -40

Virtuelles System: rechteckiger Verlauf mit Höhe -0,833

Wir finden diese in Zeile 1 und Spalte 1:

$lik$

$\int \overline{N}_4 N_4 dx_4 = 3 \cdot (-40) \cdot (-0,833)$

Methode

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$\int \frac{\overline{N}_4 \cdot N_4}{EA} dx_4 = \frac{1}{2.520.000} \cdot 3 \cdot (-40) \cdot (-0,833) = 3,967 \cdot 10^{-5}$

Als nächstes betrachten wir den Biegemomentverlauf.

1.Schnittbereich $0 \le x_1 \le 3,61$

Ausgangssystem: dreieckiger Verlauf mit Höhe 7,51

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,502

Wir finden diese in Zeile 2 und Spalte 2 (beiden Dreiecke haben die Höhe auf derselben Seite):

$\frac{1}{3} lik$

$\int \overline{M}_1 M_1 dx_1 = \frac{1}{3} \cdot 3,61 \cdot 7,51 \cdot (-0,502)$

Methode

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$\int \frac{\overline{M}_1 \cdot M_1}{EI} dx_1 = \frac{1}{37.800} \cdot \frac{1}{3} \cdot 3,61 \cdot 7,51 \cdot (-0,502) = -1,2 \cdot 10^{-4}$

2. Schnittbereich $0 \le x_2 \le 3$ (von Punkt b bis g)

Ausgangssystem: parabelförmiger (quadratischer konkaver) Verlauf mit Höhe 7,51

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,502

Wir finden diese in Zeile 5 (parabelförmig quadratisch konkav) und Spalte 2 (beide haben die Höhe auf derselben Seite):

$\frac{5}{12} lik$

$\int \overline{M}_2 M_2 dx_2 = \frac{5}{12} \cdot 3 \cdot 7,51 \cdot (-0,502)$

Methode

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$\int \frac{\overline{M}_2 \cdot M_2}{EI} dx_2 = \frac{1}{37.800} \cdot \frac{5}{12} \cdot 3 \cdot 7,51 \cdot (-0,502) = -1,24 \cdot 10^{-4}$

3. Schnittbereich $0 \le x_3 \le 1$ (von Punkt g bis c)

Ausgangssystem: parabelförmiger (quadratischer konvexer) Verlauf mit Höhe -32,49

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,834

Wir finden diese in Zeile 6 (parabelförmig quadratisch konvex) und Spalte 2 (beide haben die Höhe auf derselben Seite):


$\frac{1}{4} lik$

$\int \overline{M}_3 M_3 dx_3 = \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot (-32,49) \cdot (-0,834)$

Methode

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$\int \frac{\overline{M}_3 \cdot M_3}{EI} dx_3 = \frac{1}{37.800} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot (-32,49) \cdot (-0,834) = 1,792 \cdot 10^{-4}$

4. Schnittbereich $0 \le x_4 \le 3$ (von Punkt c bis d)

Ausgangssystem: dreieckiger Verlauf mit Höhe -32,49

Virtuelles System: dreieckiger Verlauf mit Höhe -0,834

Wir finden diese in Zeile 2 und Spalte 2 (beide haben die Höhe auf derselben Seite):

$\frac{1}{3} lik$

$\int \overline{M}_4 M_4 dx_4 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (-32,49) \cdot (-0,834)$

Methode

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$\int \frac{\overline{M}_4 \cdot M_4}{EI} dx_4 = \frac{1}{37.800} \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (-32,49) \cdot (-0,834) = 7,168 \cdot 10^{-4}$

 

Die berechneten Werten einsetzen in die Arbeitsgleichung:

$\overline{1} \cdot d =$

$9,507 \cdot 10^{-6} + -1,2 \cdot 10^{-4} +$

$3,584 \cdot 10^{-6} + -1,24 \cdot 10^{-4} + $

$1,195 \cdot 10^{-6} + 1,792 \cdot 10^{-4} + $

$3,967 \cdot 10^{-5} + 7,168 \cdot 10^{-4}$

 
$\overline{1} \cdot d = 7,06 \cdot 10^{-4}$


Auflösen nach $d$ ergibt die Verschiebung an der Stelle $g$ in vertikaler Richtung:

Methode

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$d = 7,06 \cdot 10^{-4} m$

Da das Ergebnis positiv ist, erfolgt die Verschiebung in Richtung der $\overline{1}$-Kraft, also vertikal nach unten um 0,706 mm$