Gleichungen für eine Schraubenverbindung

In diesem und den kommenden Kurstexten werden wir Stück für Stück die Grundlagen zur Berechnung einer Schraubenverbindung vorstellen.

Stellvertretend für alle Schraubenarten werden wir die Berechnungen mit Befestigungsschrauben durchführen. 

Befestigungsschrauben

Soll eine vorgespannte Verbindung hergestellt werden, die Betriebskräfte aufnehmen kann, so verwendet man Befestigungsschrauben. Dabei wirken die Betriebskräfte in Richtung der Schraubenachse. Wie stark dabei die Schraubenverbindung beansprucht wird, richtet sich nach den eingesetzten Komponenten (z.B. Festigkeit des Werkstoffs) und deren Nachgiebigkeit (Eigenschaft eines Körpers sich aufgrund des Einwirkens einer Kraft oder eines Moments elastisch zu verformen). 

Bei einer Schraube werden Teile der Schraube wie elastische Federn betrachtet, die sich auf Grund der beim Verspannen auftretenden Spannungen elastisch verformen.

Grundgleichungen

Bevor wir die Schrauben selbst berechnen wollen wir für die kommenden Berechnungen folgende physikalischen Eigenschaften betrachten und uns die entsprechenden Grundgleichungen zu Nutze machen. Es sollen allgemein

• die elastische Nachgiebigkeit und
• das Hookesche Gesetz

betrachtet werden.

Elastische Nachgiebigkeit

Die elastische Nachgiebigkeit $\delta $ beschreibt das Verformungsvermögen eines Bauteils. Es handelt sich dabei um den Kehrwert der Federsteifigkeit c. 

Die Definition der Nachgiebigkeit ergibt sich als Quotient aus dem jeweiligen Deformationsmaß (bei uns der Längenänderung der Schraube) und der wirkenden Kraft.

Die Nachgiebigkeit von Schrauben ist ein wichtiges Element zur Berechnung der sogenannten Montagevorspannkraft, d.h. der erforderlichen Vorspannung bei bestimmter Belastung. Hohe Nachgiebigkeiten sind erforderlich, wenn Schrauben durch Betriebskräfte dynamisch belastet werden. Dadurch werden diese Schrauben weiter gedehnt (sie geben nach), anstatt zu brechen. 

Die Bestimmung der Nachgiebigkeit von verspannten Schrauben ist dahingehend interessant, dass sich die Schraube selbst beim Verspannen dehnt, die mit der Schraube verspannten Bauteile wirken dieser Dehnung jedoch entgegen; diese werden gestaucht. Dies ist in nachfolgender Abbildung zur Veranschaulichung einmal aufgezeigt - wir werden später auf diese Eigenschaften nochmals zurückkommen.

Ihr werdet feststellen, dass diese Nachgiebigkeiten einer Schraube bzw. Schraubenverbindung jedoch nur von der Schraubengeometrie und dem E-Modul des Schraubenwerkstoffes abhängen, also nicht von den anliegenden Kräften bei Belastung. Mit Kenntnis der Nachgiebigkeiten der Schraube selbst sowie der Nachgiebigkeit der verspannten Bauteile ist es jedoch möglich diese mit den real wirkenden Kräften zu vergleichen, um beispielsweise zu ermitteln, ob die Schraubenverbindung hält.

Dazu zunächst einige allgemein notwendigen Berechnungsgrundlagen:

Die in einer Schraube wirkende Kraft F berechnet sich grundsätzlich durch das Produkt aus dem "nachgegebenen"  Weg $ \Delta l $ (bzw. der Längenänderung $ f $) und der Federsteifigkeit c. 

Durch Umstellen der Formel und Auflösen nach der Nachgiebigkeit $ \delta $ ergibt sich:

Im Einzelnen bedeuten:

$ \delta $ = Nachgiebigkeit in $\frac{mm}{N} $
$ f =\Delta l= $ Längenänderung in m
$ F = $ wirkende Kraft in N

Das Hookesches Gesetz

Für unser weiteres Vorgehen benötigen wir des Weiteren das Hookesche Gesetz, um die Werkstoffeigenschaften der Schraube berücksichtigen zu können:

bzw. alternativ:

Mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes lässt sich nun die elastische Nachgiebigkeit in alleiniger Abhängigkeit von Geometrie- und Werkstoffkennwerten bestimmen.