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Baustatik 1 - Verformung infolge Biegung

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Baustatik 1

Verformung infolge Biegung

Nachdem wir uns mit der Dehnung eines Stabes entlang der Stabachse beschäftigt haben, betrachten wir in diesem Abschnitt die Verformung eines Stabes infolge Biegung. Zur Herleitung sämtlicher Gleichungen verwenden wir das dreidimensionale Bauteil Balken.

Wirken äußere Momente oder Kräfte auf einen Körper, so ist dieser einer Biegebelastung ausgesetzt. Diese Biegebelastung führt zu inneren Spannungen (Normal- und Schubspannungen) sowie zur Verformung des Körpers. 

Zunächst unterscheiden wir die Biegung nach der Art der Belastung:

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Arten von Biegung

 

Es werden zwei unterschiedliche Arten der Biegung anhand der Art der Belastung differenziert:

a) Die reine Biegung (=Querkraftfreie Biegung)

Die Biegung des obigen Balkens entsteht nur durch das Aufbringen zweier Biegemomente an den Enden des Balkens. Hierbei ist das Schnittmoment $M$ konstant. Bei der reinen Biegung treten nur Normalspannungen auf. 

b) Die Querkraftbiegung

Die Biegung des obigen Balkens entsteht durch äußere Kräfte, welche als Querkraft auf den Balken wirken. Wir haben hier zwei Schnittgrößen gegeben, das Schnittmoment $M$ und die Querkraft $Q$. Aufgrund der Querkraft treten hier zusätzlich zu den Normalspannungen auch Schubspannungen auf. 

 

Wir behandeln in diesem Kurs nur die gerade Biegung. Eine gerade Biegung ist gegeben, wenn nur ein Moment um eine Hauptachse gegeben ist:

GRAFIK

Hauptachsen sind die Symmetrieachsen des Querschnitts. Bei doppelt symmetrischen Profilen (u.a. Quadrat, Rechteck, Kreis) sind die beiden Symmetrieachsen des Profils die Hauptachsen. Bei einfach symmetrischen Profilen (Trapez, T-Träger, Halbkreis) stellen die Symmetrieachse sowie die dazu senkrechte (90°-Winkel) Achse die Hauptachsen des Profils dar. Wir betrachten in diesem Kurs Bauteile dessen Hauptachsen mit den $y,z$-Achsen zusammenfallen.

Bei der geraden Biegung wirken nur Kräfte entlang einer der Hauptachsen ($y$ oder $z$-Richtung), was zu einem Moment um die andere Hauptachse führt. Wirkt also eine Kraft in $z$-Richtung auf das Bauteil, so ergibt sich bei ein Moment um die $y$-Achse. 

In den nachfolgenden Abschnitten wird zunächst die einachsige reine Biegung behandelt und die daraus resultierende Normalspannungsverteilung ermittelt. Danach folgt die einachsige Querkraftbiegung für welche wir ebenfalls die daraus resultierende Normalspannungsverteilung ermitteln und zusätzlich die Schubspannungsverteilung aufzeigen. Ferner wird die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet.