Verformung infolge Biegung

Nachdem wir uns mit der Dehnung eines Stabes entlang der Stabachse beschäftigt haben, betrachten wir in diesem Abschnitt die Verformung eines Stabes infolge Biegung. Zur Herleitung sämtlicher Gleichungen verwenden wir das dreidimensionale Bauteil Balken.

Wirken äußere Momente oder Kräfte auf einen Körper, so ist dieser einer Biegebelastung ausgesetzt. Diese Biegebelastung führt zu inneren Spannungen (Normal- und Schubspannungen) sowie zur Verformung des Körpers. 

Zunächst unterscheiden wir die Biegung nach der Art der Belastung:

Arten von Biegung

a) Die reine Biegung (= querkraftfreie Biegung)

Die Biegung des Balkens entsteht nur durch das Aufbringen zweier Biegemomente an den Enden des Balkens. Hierbei ist das Schnittmoment $M$ konstant. Bei der reinen Biegung treten nur Normalspannungen auf. 

b) Die Querkraftbiegung

Die Biegung des Balkens entsteht durch äußere Kräfte, welche als Querkraft auf den Balken wirken. Wir haben hier zwei Schnittgrößen gegeben, das Schnittmoment $M$ und die Querkraft $Q$. Aufgrund der Querkraft treten hier zusätzlich zu den Normalspannungen auch Schubspannungen auf. 

Zusätzlich wird zwischen folgenden beiden Arten der Biegung unterschieden:

a) Gerade Biegung (auch: einachsige Biegung)

Eine gerade Biegung ist gegeben, wenn nur ein Moment um eine Hauptachse gegeben ist.

b) Schiefe Biegung (auch: zweiachsige Biegung)

Eine schiefe Biegung ergibt sich, wenn ein Moment um beide Hauptachsen gegeben ist.

Hauptachsen

Hauptachsen sind die Symmetrieachsen und alle dazu senkrechten Achsen des Querschnitts. Betrachten wir die y,z-Achsen des Querschnitts, so ist zunächst zu prüfen, ob diese auch Hauptachsen des Querschnitts darstellen. Bei doppelt symmetrischen Profilen (u. a. Quadrat, Rechteck, Kreis) sind die y,z-Achsen die Symmetrieachsen und damit die Hauptachsen. Bei einfach symmetrischen Profilen (Trapez, T-Träger, Halbkreis) ist zumindest eine der beiden Achsen (y- oder z-Achse) eine Symmetrieachse, demnach sind auch hier die y,z-Achsen Hauptachsen des Querschnitts.

Symmetrische und unsymmetrische Profile bezgl. der y,z-Achsen

Bei der geraden Biegung wirken nur Kräfte entlang einer der Hauptachsen ($y-$ oder $z$-Richtung), was zu einem Moment um die andere Hauptachse führt. Wirkt also eine Kraft in $z$-Richtung auf das Bauteil, so ergibt sich ein Moment um die $y$-Achse. Wirkt eine Kraft in $y$-Richtung auf das Bauteil, so ergibt sich ein Moment um die $z$-Achse.

Gerade vs. schiefe Biegung

In den nachfolgenden Abschnitten wird zunächst die gerade reine Biegung behandelt und die daraus resultierende Normalspannungsverteilung ermittelt. Danach folgt die gerade Querkraftbiegung, für welche wir ebenfalls die daraus resultierende Normalspannungsverteilung ermitteln und zusätzlich die Schubspannungsverteilung aufzeigen. Ferner wird die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet.